平行六面体の体積について

質問

大学生なんですが、平行六面体の辺をＡ、Ｂ、Ｃとおくとすると、
平行六面体の体積
Ｃ・（Ａ×Ｂ）＝Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝Ｂ・（Ｃ×Ａ）
これが成り立つことを示したいんです。
Ｃ・（Ａ×Ｂ）＝Ｃ・｜Ａ×Ｂ｜・cosθ
であり、C・COSθは高さを表し、A×Bは底面積を表すぐらいはわかりました。
わからない点は、A・（B×C）やB・（C×A）を考えるときに、θをとるが、そのθはそれぞれ同じθの値なのでしょうか？
そのθの値がそれぞれ等しいということがわかれば、どの計算も分配の法則？によって等しいことが証明できると考えているのですが、、
それをどのように表現したらいいのかもわからず、うまく証明することができません。
よければご意見、お願いします。

回答No.3

e_beam

ベクトルの外積　はご理解されていますでしょうか？
それがわかれば、実際に３次元のプロットしてみたらわかるのでは？

レポート課題でしょうか？
もしそうであれば、課題を提出された先生は空間で外積という概念を理解できているかを確認するための問題だと思います。

参考になりそうなサイトのリンクを貼らせてもらいます。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Triprod/

回答No.2

kabaokaba

そもそも（平行六面体の）体積が
「底面積」かける「高さ」なのはOK？

底面積が｜Ａ×Ｂ｜であるなら
高さはどこになるか，きちんと図がかけますか？
その図が書けるのであれば

>>>引用開始
A・（B×C）やB・（C×A）を考えるときに、θをとるが、そのθはそれぞれ同じθの値なのでしょうか？
そのθの値がそれぞれ等しいということがわかれば、どの計算も分配の法則？によって等しいことが証明できると考えているのですが、、
<<<引用終わり

なんていう疑問は出てくるわけはないし，
証明できるなんて思うわけもありません

問題を言い換えて簡単にしてみましょう

今，三角形ABCがあります．
a=BC, b=AC, c=ABと書きます
三角形の面積は
1/2 ab sinC = 1/2 bc sinA = 1/2 ca sinB
なのですが，A，B，Cは同じ値なのでしょうか？
もし同じ値ならばどの計算も
分配の法則？によって等しいことが証明できると考えているのですが、、

↑さて，どう思いますか？

なお，すんごくまじめにやるなら
＃1さんご指摘のように根性で成分計算するか
「体積の一意性」を自明とするかでしょう．

お礼

丁寧にありがとうございます。
三角形の例ではA,B,Cはそれぞれ違う値でも等しい面積の値をとるとわかりました。
ということは、証明するもなにもそこは任意のこととして、証明を進めていけばよいのでしょうか？
そうなると、結局、題意にある証明したい式はどのように証明を進めていけばよいのでしょうか？？
何度もすみません↓

回答No.1

Tacosan

ちと面倒だけど, 全部成分でやっちゃうってのはどう?