四面体の体積

質問

空間内に4点A(0,0,0)、B(2,1,1)、C(-2,2,-4)、D（1,2,-4)がある。

（１)∠BAC=θとおくとき、cosθの値と△ABCの面積を求めなさい。

（２）ABとACの両方に垂直なベクトルを1つ求めなさい。

（３）点Dから、3点A,B,Cを含む平面に垂直な直線を引き、
その交点をEとするとき、線分DEの長さを求めよう。

（４）四面体ABCDの体積を求めなさい。

解ける方いらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ベクトル記号省略します。
(1)△ＡＢＣに注目
ＡＢ＝（2,1,1）
ＡＣ＝（-2,2、-4）
内積の公式より、
ＡＢ・ＡＣ＝｜ＡＢ｜ＡＣ｜cosθにそれぞれの値を代入すると、
-4+2-4＝√6*2√6*cosθ
cosθ＝-1/2

sinθ＝√（1-1/4）＝√3/2

△ＡＢＣ＝1/2*√6*2√6*√3/2＝3√3

(2)求めるベクトルをｎ＝（a,,b,c）とおくと、
　ｎ・ＡＢ＝2a+b+c=0
　ｎ・ＡＣ＝-2a+2b-4c=0
この2式より、a=-c,b=c
よって、ｎ＝（-c,c,c）
ゆえに垂直なベクトルのひとつは（-1,1,1）

(3)(2)より実数ｋを用いて、
　ＤＥ＝ｋ（-1,1,1）＝（-ｋ,ｋ,ｋ）・・・※1

　また、点Ｅは平面ＡＢＣ上の点であるから、実数ｓ、ｔを用いて、
　ＡＥ＝ｓＡＢ+ｔＡＣ＝ｓ（2,1,1）+ｔ（-2,2、-4）＝（2ｓ-2ｔ,ｓ+2ｔ,ｓ-4ｔ）

　ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝（2ｓ-2ｔ-1,ｓ+2ｔ-2,ｓ-4ｔ+4）・・・※2

※1、※2より、成分同士比較して
2ｓ-2ｔ-1＝-ｋ、ｓ+2ｔ-2＝ｋ、ｓ-4ｔ+4＝ｋ
これらを解くと、ｓ＝ｔ＝ｋ＝1

よって、ＤＥ＝（-1,1,1）となるから、｜ＤＥ｜＝√3

(4)四角形ＡＢＣＤの体積＝1/3*△ＡＢＣ*ＤＨ＝1/3*3√3*√3＝3

お礼

ありがとうございました^^*