高校数学 図形の証明問題:線分の中点とベクトルの長さ
- この問題では、半径1の球面上に3つの点があり、線分の中点とベクトルの長さに関する証明が求められています。
- ベクトルの定義を用いて計算すると、線分の中点とベクトルの長さの関係を表す式が得られます。
- 解答では、4つの場合について証明を行い、題意を示しています。添削を受けたい部分について具体的に指定していただければ、さらに詳細な添削を行います。
- ベストアンサー
高校数学 図形の証明問題
点Oを中心とする半径1の球面上に3点A,B,Cがある。線分BC,CA,ABの中点をそれぞれP,Q,Rとする。線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上であることを証明せよ。 自分の解答(以下の↑はベクトルを表します) ↑OA=↑a, ↑OB=↑b, ↑OC=↑cとすると、|↑a|=|↑b|=|↑c|=1 ↑OP=(↑b+↑c)/2, ↑OQ=(↑a+↑c)/2, ↑OR=(↑a+↑b)/2より、 ↑aと↑c, ↑aと↑b, ↑bと↑cのなす角をそれぞれα,β,γとおくと |↑OP|=√2(1+cosγ)/2, |↑OQ|=√2(1+cosα)/2,|↑OR|=√2(1+cosβ)/2 ∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または 1+cosγ>1/2であればよく すなわち 0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または 0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。 4点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1)は成り立つ。 4点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合 例えば点Oが直線BCの下側にあるときα+β<πであり、OがAB,ACの下側にある場合も同様にそれぞれα+γ<π , β+γ<πであるから(1)は成り立つ。 また、O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから(1)は成り立つ。 以上より、題意は示された。 上のような解答で証明が正しくできているのか自信がないので(特に「4点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合」と「O,A,B,Cが同一平面上にない場合」)添削をよろしくお願いいたします。
- ktdg
- お礼率54% (85/156)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または > 1+cosγ>1/2であればよく 等号はなくていいのですか? >0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または >0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。 等号は? それと、角度は0以上π以下のしか考えないという 意味ですか?もしそうなら明示しないといけません。 >4点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形 >ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1) >は成り立つ。 これだけだと論証が不十分です。 >下側 とは何ですか? いいたいことはなんとなくわかりますが・・・ それと、 >だから(1)は成り立つ。 これも論証が不十分です。 理由を書きましょう。 >O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2π >だから これって明らかなのでしょうか? この証明だけで1つの問題になりそうです。 ─────────────────── 一番最初に戻り、解き方の方針として、自分なら 背理法を使いたいです。つまり、 |↑OP|<1/2,かつ |↑OQ|<1/2,かつ |↑OR|<1/2 と仮定して矛盾を導きます。 1>4|↑OP|^2 =|↑b+↑c|^2 =|↑b|^2+|↑c|^2+2(↑b・↑c) =1+1+2(↑b・↑c) 整理して,、↑b・↑c<-1/2 同様にして、↑a・↑b<-1/2, ↑c・↑a<-1/2 このとき、 ↑c・(↑a+↑b)=(↑c・↑a)+(↑c・↑b)<-1/2-1/2=-1 ところがシュワルツの不等式より ↑c・(↑a+↑b)≧-|↑c||↑a+↑b|>-1×1=-1 となって、-1<-1 これは矛盾。 ※シュワルツの不等式を知らない場合は、 ↑cと(↑a+↑b)とのなす角度をθとして -1>↑c・(↑a+↑b)=|↑c||↑a+↑b|cosθ よりcosθ<-1/(|↑c||↑a+↑b|)<-1 として、コサインの性質であるcosθ≧-1 に矛盾することをいう。
関連するQ&A
- 平面上のベクトルの問題
「平面上の4点O、P、Q、Rが条件OP=2、OQ=3、∠POQ=60°、OP→+OQ→+OR→=0を満たすとする。線分ORの長さとcos∠PORの値を求めよ」 という問題を解いています。 図で表そうと思ったのですが、OP→+OQ→+OR→=0があらわしているものがわからなく、困っています。 回答していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の問題についてお聞きします
oを原点とする座標平面上で、点(-1,0)をAとする。また、直線y=-x+√3がx軸、y軸と交わる点をそれぞれB,Cとする。線分BC上点Pをとり、BP=tとおく。このとき、 AP^2+OP^2=□t^2-(□)t+2√3+□ である。また、AP^2+OP^2の最小値は□である。 この問題の答えは順に、2、√2+2√6、7、√3+15╱4、となっているのですが、どうしてなのかわかりません どなたか解説をお願いします<m(__)m>
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形の問題がわかりません
同一平面上に4点O、A、B、C、Dがあり、Oは△ABCの外接円の中心である。 AB=5、BC=8、CD=5、DA=3、∠ABC=60°とする。 (1)CA= (2)cos∠CDA= (3)△ABCの外接円の半径R= (4)△OCAの面積S1= (5)四角形ABCDの面積S2= どれか1つでもいいので、解き方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【至急!】空間ベクトルの問題
正四面体ABCDに対して、3点O、A、Bと同じ平面状の点Pが3→OP=2→AP+→PBを満たす。 →OA=→a、→OB=→b、→OC=→cとおくとき、以下の問いに答えよ。 △ABCの重心Gと点Pを結ぶ線分が、面OBCと交わる点をQとする。→OQを→a、→b、→cで表せ。 参考書なども見てみたんですが、いまいち分かりません。 解き方を教えてください!よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。
△ABCにおいてAB=AC=3、BC=2とする。 このとき cos∠BAC=7/9、sin ∠BAC=4√2/9である。 △ABCの外接円の中心をO、半径をRとするとR=9√2/8である。 (1)外接円Oの点Cを含まない弧AB上に点PをAP=PBとなるようにとる。 線分OPと辺ABの交点をHとすると OHは? APは? (2)外接円Oの点Bを含まない弧AC上に点QをAQ=QCとなるようにとり、線分BPの延長と線分QAの 延長との交点をSとする。 ∠PBA=θとおく。次の五個の角のうち、その大きさが2θであるものの個数は?個である。 ∠SPA ∠ABC ∠BCA ∠CAP ∠PAS そして SA=?、SQ=? である。 さらに、点Sから円Oに接線を引き、その接点をTとすると ST=? である。 多くてすみません。 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の、図形の証明問題を教えて下さい。
図で、三角形ABCは、AC > ABの三角形で、点Pは辺AC上に、点Qは辺BC上にある点である。 頂点Aと点Q、頂点Bと点P、点Pと点Qをそれぞれ結び、線分AQと線分BPの交点をRとする。 BP=CP、AQ=CQのとき、三角形ABC ∽ 三角形QPCであることを証明しなさい。
- 締切済み
- 数学・算数