体積を求める公式の導き方

質問

三辺（縦、横、高さ）の長さがa, b, cのときの四角柱の立体格子体積Vは、"V = abc"ですが、
その軸角が90°からずれて軸角がα, β, γになると、その平行六面体の格子体積V、
つまり、三斜晶系(a≠b≠c, α≠β≠γ≠90°)の格子体積は下記になります。

"三斜晶系の格子体積: V = abc(1-cos^2α-cos^2β-cos^2γ+2cosαcosβcosγ)^(1/2)"

どうやってこの形が導かれるのでしょうか？どなたか教えて下さい。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

3つのベクトル↑A=(a,0,0),↑B=(b*cosα,b*sinα,0),↑C=(d,e,f)があって
(a,b,c,f>0)
今、
d^2+e^2+f^2=c^2・・・・・(1)
ac*cosβ=ad・・・・・(2)
bc*cosγ=bd*cosα+be*sinα・・・・・(3)
が成立しています。(ベクトルの内積)
(2)より
d=c*cosβ
(3)より
e=(c*cosγ-d*cosα)/sinα=c(cosγ-cosαcosβ)/sinα
(1)に代入して
c^2*cos^2β+c^2*(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α+f^2=c^2
f=c*{1-cos^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)

ここで↑Aと↑Bからできる平行四辺形の面積は
ab*sinα
これに高さ(f)をかけると体積になりますので
体積V=ab*sinα*c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{(1-cos^2α)(1-cos^2β)-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{1-cos^2α-cos^2β-cos^2γ+2cosαcosβcosγ}^(1/2)

お礼

なるほど！！感動しました！！確かに美しいぐらいに見事に導けますね。
ありがとうございました。感謝いたします。

回答No.1

eatern27

a,b,cをベクトルとしたとき、
(1) a,b,cで張られる平行六面体の体積＝|a・(b×c)|
(2) ベクトルx,yに対して、|x・y|^2+|x×y|^2=|x|^2|y|^2　(←x=a,y=b×cとする)
(3) ベクトル公式：a×(b×c)=b(a・c)-c(a・b)
この辺りから導けそうです。

お礼

確かに立体に補助線を引いて幾何学的に考えるよりも、ベクトルで考えると導けそうですね。