二次関数の最大値の問題

質問

aを定数とするとき区間０≦x≦２における二次関数
y=x^2-2ax+2a^2の最大値を求めよ

という問題で答えがa≧1のとき2a^2,a＜1のとき2a^2-4a+4だったんですけど

僕がやったのはa＞1のとき2a^2,a＜1のとき2a^2-4a+4,
a=1のとき2a^2,2a^2-4a+4になったんですけどこれは間違いですか？

回答No.2

higekuman · ベストアンサー

> a=1のとき2a^2,2a^2-4a+4

「a=1のとき」ということなので、2a^2とか2a^2-4a+4というように、aを使うのは変です。
a=1を代入した値にするべきです。
となると、2a^2⇒2、2a^2-4a+4⇒2、ですね。

そもそも、a=1というのは、軸が範囲の真ん中にあるということで、最大値がx=0の場合とx=2の場合の切り替わりの位置ということですよね。
だから、x=0でもx=2でも値が同じということ。
そういう条件なのに、答が2つあるというのも変な話。

a>1,a=1,a<1、の場合に分けて考えることは、間違っていません。というか、正しいです。
ただ、ほとんどの問題で、a=1の場合が、a<1かa>1とまとめて考えても大丈夫です。

ちなみに、この問題の答は、a≧1とa＜1に分けて考えていますが、a＞1とa≦1に分けても間違いではありません。

お礼

物凄く理解することができました。

回答ありがとうございました。

回答No.3

fuuraibou0

ｙ＝ｘ^2－２ａｘ＋２ａ^2　は、ｙ’＝２ｘ－２ａ＝０　より、x＝ａ　で極値をとり、

ｙ”＝２＞０　だから、０≦x＝ａ≦２　で、極小値（ｙは２次曲線で最小値）
ｙmin＝ａ^2－２ａ^2＋２ａ^2＝ａ^2　をとり、

最大値　ｙmax　は、ａ＝１　のとき、ｘ＝０、２　で、　ｙmax＝２、

ａ＜１　のとき、ｘ＝２　で、　ｙmax＝４－４ａ＋２ａ^2、

１＜ａ　のとき、　ｘ＝０　で、　ｙmax＝２ａ^2　ですよ。

回答No.1

KappNets

あなたの答えは間違いとまでは言いにくいのですが考察が不十分なのです。先生としては何点減点すべきか迷う回答になります。

a=1 ならば 2a^2=2a^2-4a+4=2 ですよね。a≧1のとき2a^2 と書けば、a=1 のときの y=2 という答えが含まれています。

お礼

回答ありがとうございます。

考え方としては＜、＝、＞の３つの場合を考えて
省略していけばいいんですよね。

疑問に思ったのですが、a≦1ではだめなんでしょうか？