数学 ２変数関数の問題

質問

数学 ２変数関数の問題

問 X≧0 Y≧0 X＋Y≧2 を同時に満たすX,Yに対して
Z=2xy＋ax＋4y
の最大値を求める。ただしaは負の定数とする

解答 とりあえずXを固定すると、ZはYの１次関数で
Z＝(2x＋4)y＋ax (0≦y≦2-x)
2x＋4＞0により、これは増加関数であるから、xを固定した時のzの最大値は
y＝2-xの時の
(2x＋4)(2-x)＋ax=-2X^2＋ax＋8 (1)
である。

ここで、xを動かす、すなわち、(1)をXの関数とみなす。すると題意により
定義域は0≦x≦2であり、この範囲ではa＜0により(1)は減少関数であるから
x=0で最大になる。
異常により求める最大値は8となる

このような問題と解があります。僕がひっかかるところは(0≦y≦2-x)の部分です
これは、y≦２ではなぜだめなんでしょうか？２にした場合結果も異なってきます。

自分なりに考えたのは、(1)までの段階はあくまで最大値になる候補をあげようとしていて、ここでY＝２としてしまうと
X＝０と決まってしまうので不適当。その後の0≦x≦2はその式自体がXだけの関数なのでOK

この考え方にいまいち自信がないので知恵を貸してください。

回答No.2

mister_moonlight

細かい点の表現を無視すると、考え方としては概ね良い。

回答No.1

spring135

＞このような問題と解があります。僕がひっかかるところは(0≦y≦2-x)の部分です
これは、y≦２ではなぜだめなんでしょうか？２にした場合結果も異なってきます。

X＋Y≧2ということはy≦2-xと変形すれば解るようにxの値に応じてyの限界が変わるということです。
y≦２はｘ＝のときにのみ成立します。xを変数と考えるときは間違いです。

この手の問題はグラフを描く能力を問っていると思えばよろしい。

多角形で表される領域の置いて
直線Z=2xy＋ax＋4yの取る値をグラフで調べてください。