お恥ずかしい質問なのですが・・・（合成関数？

質問

今大学からの宿題の微積分をやっているんですが、
合成関数の微分というのが出てきました。
そこで参考書をよみやりかたを見て解いたのですが、
解き方は見てわかったのですがそもそも合成関数って何だろう？
と思いそれも参考書でしらべてみたのですが、あまり意味がわかりませんでした＞＜
合成関数とはいったい何なんでしょうか？(；・∀・)

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ふざけているわけではなく、まじめに書いているのですが、

ｆ（ｘ）＝　じゃんけんでｘに負ける手
ｇ（ｘ）＝　ｘの手の形
という関数を定義すると

ｆ（ぐー）＝　ちょき
ｆ（ちょき）＝　ぱー
ｆ（ぱー）＝　ぐー

ｇ（ぐー）＝　石
ｇ（ちょき）＝　はさみ
ｇ（ぱー）＝　紙

合成関数　ｇ（ｆ（ｘ））　を考えてみると、
ｇ（ｆ（ｘ））＝　ｘに負ける手の形
ということになります。

ｇ（ｆ（ぐー））＝　ｇ（ちょき）　＝　はさみ
ｇ（ｆ（ちょき））＝　ｇ（ぱー）　＝　紙
ｇ（ｆ（ぱー））＝　ｇ（ぐー）　＝　石

いわゆる普通の、数についての合成関数は、教科書にあるでしょうから、
教科書にないと思われる例を、わざと挙げてみました。

回答No.3

looker1986

関数というのは、工場の機械のようなものだという例えがあります。
例えば、f(x)=2xという関数では、xが原材料で、2xが製品です。
xとして、2を原材料として投入(代入)すると、4が製品として出てきます。

また、g(x)=x-1という関数では、4を原材料として投入すると、3が出てきます。

合成関数とは、２つの機械をつなげたものです。
gとfの合成関数g・f(x)、あるいは、g(f(x))とは、
xを原材料として、まずfに投入します。
そして、出てきた製品を、今度はgに投入します。

そうして出来る機械全体を合成関数と呼ぶのです。
2を原材料としたときに、3を製品ととらえ、
xを原材料とするなら、2x-1が製品ですね。

ここからは、蛇足ですが、
上の例では、どちらの関数でも、何を代入しても良いですね。
ではここで、
fは生卵をゆでる機械だとしましょう。
gは卵の殻を剥く機械だとしましょう。

g・f(生卵)とすると、製品はゆで卵ですね。
しかし、f・g(生卵)とすると、
製品はぐちゃぐちゃの食べ物になるどころか、機械が故障する可能性もあります。
つまり、一般には、g・f≠f・gであり、
また、片方が定義できるからといって、もう片方の定義は全く保障されないということです。
このあたりのことも合成関数を扱う上で注意しなければならないことですね。

回答No.2

jirafu2003

ｆ（ｘ）＝（２ｘ－３）＾２として、
ｇ（ｘ）＝ぶた　　　
としますと
ｇ・ｆとか表示されますが、
ｆ（ｇ（Ｘ））＝（２（ぶた）－３）＾２
という感じです。