関数の微積分可能性についての素朴な質問

質問

いろいろある関数の中で、微分はできるが積分はできないとか、その逆に積分はできるが微分はできないというような片側しかないような関数はあるのでしょうか?

回答No.6

shkwta

No.5様の後半部に含まれる種類のものと思いますが、たとえばこれはどうでしょうか。

f(x) = cos x + (1/2)cos 2x + (1/4)cos 4x + ・・・
= Σ[k=0 to ∞] (cos((2^k)*x))/(2^k)

この和は一様収束で、またf(x)は連続です。

微分は不可能ですが、原始関数はあって
F(x) = Σ[k=0 to ∞] (sin((2^k)*x))/(4^k) + C

お礼

おりにふれて拝見いたします。

回答No.5

grothendieck

このご質問にはいくつかの回答が考えられます。
　まず関数を「初等関数」とした場合、exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことは有名です。一方、exp(-x^2)の導関数は-2x*exp(-x^2)になります。このように初等関数の導関数は必ず初等関数になるが、初等関数の原始関数は初等関数の範囲内で求めることができないという意味で積分できないことがあります。原始関数が初等関数になる条件や原始関数の求め方はRischによって明らかにされています。
　次に初等関数に限らず、導関数や原始関数の通常の定義の極限が存在するかどうかを問題にします。このとき「積分はできるが微分はできない」関数が存在します。ワイエルシュトラスや高木貞治などによりいたるところ導関数を持たない連続関数の例が構成されています。連続関数の積分は存在するのでこのような関数は「積分はできるが微分はできない」ことになります。一般にある関数を積分するとより滑らかな関数になり、微分するとよりガタガタした関数になります。したがって「微分はできるが積分はできない」関数はないと思います。

お礼

勉強させていただきます。

補足

感謝≧サンクスポイント

回答No.4

shkwta

No.3です。
勘違いしていました。申し訳ありません。
「この関数が、定義域内で連続であることはすぐわかりますね。また、」この部分は消してください。

回答No.3

shkwta

こんな関数はどうでしょう。
つぎの対応関係Vを考えます。
0から9の整数Nを、0から9の整数V(N)に（順序を変えて）対応させます。たとえば、
V(0)=5, V(1)=3, V(2)=8, V(3)=9, V(4)=2, V(5)=0, V(6)=7, V(7)=1, V(8)=4, V(9)=6

0≦x＜1 の実数x を十進数の小数で　
x = 0.abcde・・・
と書いたとき、各数字を対応関係Vを使って置き換えた小数
τ(x) = 0.V(a)V(b)V(c)V(d)V(e)・・・
を考えます。

たとえば、x = 0.1544362
なら
τ(x) = 0.3022978555555555555・・・

τ(x)はxの関数です。この関数が、定義域内で連続であることはすぐわかりますね。また、定義域内ではどこでも微分不可能です（微分するには、グラフを拡大すると直線に近づくことが必要ですが、この関数はグラフをいくら拡大しても、おなじパターンの図形が現われるだけで、直線に近づきません。一種のフラクタルです）

ところが、この関数は、積分が可能です。たとえば、0から1までの定積分は、0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45ですから
∫[0 to 1]τ(x)dx = 0.45 + 0.045 + 0.0045 + ・・・ = 0.5

この種の関数の一般論は、専門家の登場をお待ちします。

お礼

難しいですが、勉強させていただきます。

補足

感謝≧サンクスポイント

回答No.2

ryn

> 微分はできるが積分はできない
y = sin(x)/x
y = log(sin(x))
などとすれば，初等関数ではあらわせません．

> 積分はできるが微分はできない
y = |x|
のように尖らせてやれば
その点で微分できなくなります．

お礼

勉強させてください!

回答No.1

kansai_daisuki

>微分はできるが積分はできない

　式Ａは微分できるとします。
その微分後の式を式Ａ’とおきます。

　ここで、kaitaradouさんは、
式Ａ’は積分できるのかと聞いているのですよね。
でも、式Ａ’の積分の値は、式Ａですよ。

>積分はできるが微分はできない

　式Ｂ’は積分できるとします。
その積分後の式を式Ｂとおきます。

　ここで、kaitaradouさんは、
式Ｂは微分できるのかと聞いているのですよね。
でも、式Ｂの微分の値は、式Ｂ’ですよ。

お礼

どうもありがとうございました。

補足

わたしの書き方が悪かったのです。ある関数があって、その関数の導関数はあるが、原始関数は無い、あるいはその逆に原始関数はあるが、導関数は無いというようなそういう関数はあるのだろうかということでした。