積分について

質問

なんで積分は、微小なものを足し合わせたものになるのでしょうか？
微分は関数の傾きを表しますが、その逆向きの作業の積分がなぜ面積を表すのか、ずっと疑問に残ってます。
高校の教科書にも書いてありません。
わかりやすく説明してください。

回答No.4

sanori

こんばんは。

＞＞＞微分は関数の傾きを表しますが、その逆向きの作業の積分がなぜ面積を表すのか、ずっと疑問に残ってます。

傾きと面積は逆ではありませんよ。
・微分は曲線の傾きを表すので、傾きから曲線を求めるのが積分
あるいは
・微分は面積の増加のしかたを表すので、積分は面積を表す
です。

一次関数　ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ　（０≦ｘ≦ｈ）のグラフを考えます。
そして、点Ａ（ｈ，ａｈ）からＸ軸に垂線を下ろした交点を、点（ｈ，０）とします。
原点をＯ（０，０）と置きます。
すると、底辺をＡＢ、頂点をＯとした直角三角形ＯＡＢができます。

横方向（０～ｈ）をｎ等分し、△ＯＡＢを縦に切ります。
すると、ｎ個の短冊ができます。

短冊の縦の長さは、ｆ（ｘ）　です。

短冊の面積（縦×横）は、左から順に、
ｆ（ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ、ｆ（２ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ、ｆ（３ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ、・・・、ｆ（（ｎ－１）／ｎ）・ｈ／ｎ、ｆ（ｎｈ／ｎ）・ｈ／ｎ
です。

短冊の端っこが斜めになっているとか、ｎが１つ多いとか少ないとか、そういう細かいことは気にしません。

△ＯＡＢの面積は、短冊の面積の合計です。
△ＯＡＢ　＝　ｆ（ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ　＋　ｆ（２ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ　＋　ｆ（３ｈ／ｎ）・ｈ／ｎ　＋　・・・　＋　ｆ（（ｎ－１）／ｎ）・ｈ／ｎ　＋　ｆ（ｎｈ／ｎ）・ｈ／ｎ
　＝　ｈ／ｎ・Σ[k=1→n]　ｆ（ｋｈ／ｎ）
　＝　ｈ／ｎ・Σ[k=1→n]　ａｋｈ／ｎ
　＝　ｈ／ｎ・ａｈ／ｎ・Σ[k=1→n]　ｋ
　＝　ｈ／ｎ・ａｈ／ｎ・ｎ（ｎ＋１）／２
　＝　１／２・ｈ・ａｈ・（ｎ＋１）／ｎ
　＝　（ａｈ　×　ｈ　÷　２）（１　＋　１／ｎ）
　＝　（底辺　×　高さ　÷　２）（１　＋　１／ｎ）

短冊の刻み数を極限まで増やすと、１／ｎ　はゼロになり、
三角形の公式どおりになります。

積分では、
・ｈ／ｎ　→　ｄｘ
に置き換えて、∫　をつけます。
つまり、短冊を極限まで細くすると、ｄｘ　になるのです。←重要！！！
ですから、
∫[x=0→h]ｆ（ｘ）ｄｘ
です。

ここで、Σ[k=1→n]　ｆ（ｋｈ／ｎ）　と　[x=0→h]ｆ（ｘ）　が同じであることは、上述の通りです。

△ＯＡＢの面積であれば、
△ＯＡＢ　＝　∫[x=0→h]ｆ（ｘ）ｄｘ
　＝　∫[x=0→h] ａｘｄｘ
　＝　ａｘ^2／２ [x=0→h]
　＝　ａｈ^2／２
　＝　ａｈ　×　ｈ　÷　２
　＝　底辺　×　高さ　÷　２

ｆ（ｘ）をほかの関数に置き換えても、Σ　と　∫　の結果が同じになりますから、
実験してみてください。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

回答No.3

orcus0930

これだから日本の高校の微積分の授業はだめなんですよね。

断じて積分は微分の逆ではありません。
積分はもともと微小量の積和です。
積分が面積や体積を表すのは当然のことです。

積分が微分の逆と教わるのは日本くらいなもので、これは積分の定義ではありません。

まず、大学に行って、真っ先に高校の積分が否定されるんですよね。
今のうちに考えを改めることをお勧めします。
大学の教科書を見てみるのもいいでしょう。
近くの大学生協などで立ち読み、購入は可能なはずです。図書館でもいいでしょう。

で、積分が微分の逆、
つまり、関数y=f(x)を不定積分したものを微分するとf(x)になるのは、
あくまで定理です。

d/dx ∫[t:a→x] f(t)dt = f(x)
を見たことはあるんじゃないでしょうか。
これが成り立つから、積分が微分の逆として「計算」して問題ないのです。

高校レベルの証明なら#1の方の証明で十分でしょう。
記憶が正しければ、東京書籍の数IIの教科書には同様の証明が書いてあったはずです。

回答No.2

proto

＃１さんの解説がお見事という感じですが、付け足しです。
微分と積分の関係というところまで話をつっこんで考えたいのなら、「微分＝接線の傾き」というだけの考え方は止めてください。

確かに関数を微分した物が接線の傾きを表すというのは事実ではありますが、それは微分のほんの一つの側面でしかないのです。
「微分＝接線の傾き」というのは関数についてグラフを考えたときの幾何学的性質にすぎません。
グラフがなくても関数を考えることはできます。だから、グラフがなくても微分を考えられるようにもならなくてはいけません。

微分とは平均変化率の極限です。
もう少し噛み砕いて言うと、xが少しだけ変化したときyがどれくらい変化するか、ということです。
式で書けば、xがΔxだけ変化したとき、yはの変化量Δyは
　　Δy = f'(x)*Δx
となります。

今回もこの考え方でいってみましょう。
xを指定すると基点からxまでのグラフの面積を出してくれる関数S(x)があったとします。
xをΔxだけ変化させたら、面積はどれだけ増えるだろうかと考えるとそれはズバリ
　　ΔS = f(x)*Δx
となるのです。
それがつまり
　　S'(x) = f(x)
ということであり。
積分は微分の逆という定義から、
　　S(x) = ∫[x0→x]{f(t)}dt
となるのです。

回答No.1

rabbit_cat

そうですね。
y=f(x) という関数があったとして、
S(a) = ∫_[0→a] f(x) dx
という面積を考えたとします。
（y=f(x), y=0、x=0, x=aで囲まれる面積）
このとき、S(a) という関数の傾きが、f(a) になります。

S(a) と S(a+Δa) とを考えます。Δaはすごく小さい数です。
このとき、S(a)の傾きは、
S'(a) = { S(a+Δa) - S(a) }/Δa …(1)
です。
一方で、図形的に考えると、
S(a+Δa) - S(a) は、横がΔa、縦がf(a)の長方形で近似できますから、
S(a+Δa) - S(a) = f(a)×Δa …(2)
です。
で、(1)と(2)を比べると、
S'(a) = f(a)
ということがわかります。