微分と積分の関係がわかりません

質問

微分と積分は逆の計算というのは知ってます。高校の時に習いました。
ただ、なぜこれらが逆の計算になるのかわかりません。
高校の時の教科書を出してきて読み直してみましたが、「微分と積分は逆の関係であり・・」というところから始まっていて原始関数やらなんやらと展開していって、「なぜ微分と積分が逆の計算なのか」というのが分かりません。

なんでも元々は両者はまったく無関係に発展してきて、ニュートンがこの関係を発見したとか・・

これは完全に偶然だったのでしょうか？
それとも、よく考えれば当たり前なのをニュートンが発見したということなのでしょうか？

回答No.3

hugen · ベストアンサー

歴史的には、積分の考え方のほうが古い。
区間[a,b]に分点　a<x1<x2<・・<xn=b を取って
[積分]＝∫[a,b]f(x)dx
=lim[n→∞,xj-xj-1→0]f(tj)(xj-xj-1) ( xj-1≦tj≦xj )
=[f(x)の囲む面積]
( 高校の定義と異なること注意.)

[微分]=lim[xj→xj-1]{g(xj)-g(xj-1)}/(xj-xj-1)=g'(xj-1)
{g(xj)-g(xj-1)}/(xj-xj-1)=g'(xj-1)+εj 　とおくと　lim[xj→xj-1]εj=0　で
g(xj)-g(xj-1)＝{g'(xj-1)+εj}(xj-xj-1) 、 g'(x)=f(x)　とすると
g(xj)-g(xj-1)＝{f(xj-1)+εj}(xj-xj-1)
Σ[j=1,n]{f(xj-1)+εj}(xj-xj-1)=Σ[j=1,n]g(xj)-g(xj-1)=g(b)-g(a)
∫[a,b]f(x)dx=lim[n→∞,xj-xj-1→0]Σ[j=1,n]{f(xj-1)+εj}(xj-xj-1)=g(b)-g(a)

簡略すると
[積分]＝Σf(xj)Δxj
[微分]=Δy/Δx=f(xj) , y=g(x)
Δy=f(xj)Δx
ΣΔy=Σf(xj)Δx
g(b)-g(a)=Σf(xj)Δxj

回答No.6

Ishiwara

深刻に考えるほどの問題ではありません。関数Ａを微分すれば関数Ｂになり、関数Ｂを積分すればその解の中に関数Ａがある、という関係にあるだけです。「逆」であるとかないとか議論すると言葉の遊びになりかねません。

また、「偶然」という言葉は使いたくありません。数学や科学の分野は、何であれ、最初は雑然としており、どこかで才能のある人が、それらを「体系化」するのです。それが「偶然」であったかどうか、などという議論は無意味です。アインシュタインがいなくても、相対性理論は、いずれ誰かが提唱したでしょう。アインシュタインは「良い時代に生まれて、良いクジを引き当てた」ということは言えます。

回答No.5

alice_44

微分の逆操作を「不定積分」といい、
高校では、不定積分の値の差として「定積分」を定義した。
だから、その範囲では、
「なぜ微分と積分が逆の計算なのか」と問うのはナンセンスで、
そうなるようなナニモノカを積分と命名したに過ぎない。

大人の数学では、「定積分」には微分とは独立な定義があり、
定積分が不定積分の差で表されるという事実は、
解析学の一番根っこにある重要な定理のひとつだ。
その定理は「微積分学の基本定理」と呼ばれる。

積分の定義については、あまりに長くなるから
成書で読んでもらうとして、
基本定理の証明の概略は、だいたいこんな感じ↓
リーマン積分の場合 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~wakui/tanoshimi06_24.pdf
ルベーグ積分の場合 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/fundamental/node2.html

回答No.4

maccha_neko

まぁ、積分は足し算で微分は引き算みたいなものと思っても良いんじゃないでしょうか？

今、電車がある時刻tの時にいる場所（始発駅からの距離にしましょうか）を示す関数をf(t)としましょう。
で、一定時間Δt秒ごとにデータを取るとします。

ある時刻t0にp0、Δt秒後（t+Δt)にはp1の場所にいたとする・・
つまり、f(t0)=p0、f(t0+Δt)=p1
とします。
横軸に時刻t、縦軸にf(t)を取ってグラフを描けば、このグラフは時刻t0の時に電車がいる場所を表すわけですね。

さて、t0の時の速度v(t0)を考えてみます。これは
v(t0)=(p1-p0)÷Δt=(f(t0+Δt)-f(t0))÷Δt
となりますよね？
で、ところで、横軸に時刻t、縦軸にv(t)をとってみたらどうなるの？といえば、これはグラフの傾きですよね？
そこで、横軸にグラフの傾き、縦軸に速度をとったグラフが示す関数・・これが微分っていうわけですね。

さて、この速度グラフ・・微分された関数・・だけ持っていたとします。このとき、ある時刻t0の時に電車が居る場所はわかるでしょうか？初期値として、時刻0の時には始発駅にいるとしますね。
ある時刻t0の時に速度がv(t0)なわけですね？じゃあΔt秒後にはどのくらい進んでるかというと、v(t0)×Δtだけ進んでるわけですね。これをグラフで見ると、要するにt0とt0+Δtで囲まれる小さい長方形の面積です。
これをt0を変えながら端から端までずーっと足し算していけば、ある時刻tまでに進んだ距離・・すなわちf(t)が得られるわけですね。
で、この足し算は要するにv(t0)とx軸で囲まれた部分の面積を求めていることになりますよね？
このように、囲まれた面積を求めるのが「積分」というわけです。

減算したものをΔtで割る＝＞微分
Δtを掛けたものを加算　＝＞積分

ということですね。
微分してから積分するということは、減算して、Δtで割った値にΔtを掛けて加算・・っていうことで元に戻るだろうと。こんなイメージで良いんじゃないでしょうか？

回答No.2

butasenpai

悩まなくてもよろしいかと思います。一言でいうと「掛け算と割り算」の関係と同じだからです。
「掛け算の反対がなぜ割り算なのか」という質問の回答はできませんよね。だって、はじめに逆の操作だと決めたことなのだから堂々巡りになってしまいます。
動いている物体について、動いた総距離(S)を時間(t)で微分すると（そのときの）速度(v)になり、速度(v)をさらに時間(t)で微分すると加速度(g)になります。
逆に加速度を時間で積分すると速度になり、速度をさらに時間で積分すると総距離になります。
実は、円周の長さを半径(r)で積分すると円の面積、さらに半径(r)で積分すると球の体積が求められます。知らず知らず意外に早い段階で習っているのです。
時間の経過も考えてみましょう。微分とはその時々（瞬間）にどういう変化が起こっているのか知る作業、積分とはその結果として（長期的に）どういうことが起こるかを知る作業と思って下さい。微分、積分は表裏一体の手法です。

回答No.1

noname#125930

なぜ微分と積分は逆なのかではなくて、それを定義として認めているんだよ。
なぜそうだとかは論外に関係ない