角運動の問題

質問

質量M、半径Rの休憩の惑星を考える。この惑星は大気を持たずに自転もしていないものとする。
この惑星の表面から水平に質量ｍの物体が脱出速度v0の４／５で打ち出された物体が到着できる最短距離ｒ（中心から測って）を全エネルギー保存則と書く運動量保存則を用いて計算せよ。

この問題の解で、力学的エネルギー保存則の式が
(1/2)mv^2+L^2/(2mr^2)-GMm/r=L^2/(2mR^2)-GMm/R
とあるのですが、左辺になぜ「(1/2)mv^2」があるのかよくわかりません・・・。どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

nktnystk

maho-boyさん　こんにちは。

質問には「最短距離」とありますが、これは「最長距離」のあやまりではないでしょうか？　（最短距離は当然Rですから。）以下最長距離として話を進めます。
この問題の解法については、ANo.1さんのやり方で解けます。（これは高校物理のレベルです。）ご質問の
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この問題の解で、力学的エネルギー保存則の式が
(1/2)mv^2+L^2/(2mr^2)-GMm/r=L^2/(2mR^2)-GMm/R
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の式ですが、これは角運動量Lが定数ですので、通常のエネルギー保存則の中の運動エネルギーの項を動径部分と接線部分に分離して書いて、動径方向のみに着目したときに出来るエネルギー保存則を一般に書いた式で、「L^2/(2mr^2)-GMm/r」の部分が動径方向の運動に関するポテンシャルを表し、「(1/2)mv^2」は動径方向の運動エネルギーを表します。この問題では最長距離をとるときは動径方向には折り返し地点なので「v=0」を代入することになります。あとはrについての2次方程式を解けば答えが求まります。

回答No.1

kmasacity

ちょっとLとかの意味がわかりませんが自分なりに解いてみようとすると

初速をv0、最短距離rでの速度をv、とおくとエネルギー保存則より

(1/2)mv0^2-GMm/R=(1/2)mv^2-GMm/r・・・(1)

また、初速度も最短距離rでの速度もどちらも向きは円周方向なので角運動量保存則より

R×mv0＝r×mv・・・(2)

従って(1)と(2)よりvとrを求めればいいのでは？