人工衛星と楕円軌道の問題について

質問

大学の力学の問題です。

人工衛星が地上Hの高さで円軌道をえがいてまわっているとき、ロケットを逆噴射して速度を落とし、地球の反対側に着陸させるには、どれだけの速度に落とせば良いか。

という問題です。図も添付しました。

解答では
地球の半径をR、質量をM、人工衛星の質量をm、求める速度をvoとする。
速度を落としてからは楕円軌道になるがその長軸が2a=H+2Rになるようにすればよい。
軌道の公式、
r=l/1+εcos(θ+α)、ただしl=h^2/GM、ε=√1+(2Eh^2/G^2mM^2)を用いて
a=l/1-ε^2=(h^2/GM)/(-2Eh^2/G^2mM)=GmM/-2E
∴　GmM/2a=-E=-(mvo^2/2-GmM/ro) (ro=R+H)
∴　GmM/H+2R=-mvo^2/2+GmM/H+R
以上の式を変形して
vo=√2R^3g/(H+R)(H+2R)
となっています。

解答ではaが楕円の長軸になるようなEを求めてから、ロケット逆噴射時の力学的エネルギーを利用してvoを求めていることはわかるんですが、
1.速度を落としてから楕円軌道になる理由
2.地球の中心を原点と考えて力学的エネルギー保存則
mvo^2/2-GmM/R+H=0-GmM/R
(地球の反対側(x=-R)で着陸することからv=0とした)
を使って求めることができない理由
の二つがよくわかりません。

どちらかでもいいので教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

kagakusuki · ベストアンサー

1.重力源の重力以外には外力が加わらない物体が描く軌道は、楕円軌道、円軌道、放物線軌道、双曲線軌道の4種類しか存在しません。
　重力源と物体の重心を結んだ直線に対して垂直な方向に物体が進んでいる時の速度が、円軌道の軌道速度の√2倍である場合には放物線軌道、それよりも速ければ双曲線軌道、円軌道の軌道速度の√2倍未満で1倍以外である場合には楕円軌道になります。
　円軌道を描いて回っている状態とは、常に重力源と物体の重心を結んだ直線に対して垂直な方向に移動し続けている状態であり、そこから減速するのですから必ず楕円軌道になります。

2.楕円軌道において、地球の中心に最も近づいた状態なのですから、位置エネルギーが最も少ない状態という事になります。
　人工衛星の様な(地球の重力以外の)外力が加わらない状況では、力学的エネルギー保存の法則が成り立ちますから、位置エネルギーが最も少ない状態は、運動エネルギーが最も多くなる状態という事です。
　従ってその問題の楕円軌道では、地表に達した時が最も高速になりますので、

>v=0とした

という点が間違っています。
　そもそも、重力源の周囲を"回っている"という事は、常に動き続けているという事なのですから、速度が0になる事などあり得ません。

お礼

とても分かりやすかったです。
地表に着く=速度がゼロではないんですね、勉強になりました。
2つの質問に答えて頂いたので、ベストアンサーにさせて頂きます。
回答ありがとうございました。

回答No.2

nananotanu

着陸した時に0になるのは地面に垂直な成分の速度、あなたが0とおいたのは軌道方向の(接線方向の)速度⇒これは0にならない。地面の摩擦が受け止めるだけで摩擦が無きゃ勢い余って転がってく。

お礼

地上に着陸する=速度がゼロだと思い込んで摩擦力などを考えていませんでした…
勉強になりました。m(_ _)m
今回は回答ありがとうございました。