方程式

質問

大学受験の試験問題で解放の過程が乗っていない問題があったのでどなたか分かる方おりましたら教えてください。

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問）二次方程式x^2+x+1=0の解の1つをαとする。この時a^7+a^5+1の値として最も妥当なのはどれか。
答え,0

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解の公式でαを求めると-1±√-3/2aとなってa^7+a^5+1を因数分解してαを代入して解くんだろうか・・と思ったのですが数学が苦手なのでなんだかよく分からなくなってしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia

高校生がよく教わる方法が未出のようです。
面白みの無い計算ですが…

a^7+a^5+1 を a^2+a+1 で割って、

a^7+a^5+1
= (a^2+a+1)(a^5)+(-a^6+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4)+(a^5+a^4+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3)+(-a^3+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3-a)+(a^2+a+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3-a+1)

a^2+a+1 = 0 だから、a^7+a^5+1 = 0。

一般に、多項式を二次式で割れば、余りは一次(以下の)式です。
余りの式に、(解公式でも使って求めた)二次式の根を代入すると、
多項式へ代入する計算が楽になります。

この問題では、たまたま割り切れてしまったので、
一次式へ代入する手間さえ無いのでした。