京都 公立高校入試問題 解き方教えてください！

質問

平成１９年度　京都公立高校問題の数学の問６の(３)弧AEと弧CDの整数比を求める方法がわかりません。

http://www.kyoto-np.co.jp/kp/event/campus/kaitou/2007k/sugaku.pdf

弦AEと弦CDの比を考えればいいので、直線lとx軸の交点をFとすると、
三角形FAEと三角形FDCは相似なので、
辺AE：辺DC＝辺FA：辺FD＝√10：6+√10になってしまします。

回答は1：3です。お解りになる方どうか宜しくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

円と放物線の交点のもう一方をＰとすれば
Ｐは(-3,1)です。（放物線はｙ軸について対称）
Ｏ Ｐの傾きはＰの座標から-1/3で、直線エルの傾きと同じとなり
直線エルとは平行になります。
よって、錯角は等しいから∠ＰＡＣ＝∠ＡＰＯ
また、ＡＰはｘ軸に平行だから錯角で　∠ＡＰＯ ＝∠ＰＯ Ｄ
つまり、∠ＰＯ Ｄ＝∠ＰＡＣ です。
∠ＰＯ Ｄ＝ｘとすれば、∠ＰＡＣ は弧ＰＣ の円周角なので、
∠ＰＯ Ｃ ＝２ｘです。
∠ＰＯ Ｄは∠ＡＯ Ｅと同じであり、∠Ｃ Ｏ Ｄ＝∠ＰＯ Ｃ ＋∠ＰＯ Ｄ
なので、∠ＡＯ Ｅ＝ｘ、∠Ｃ Ｏ Ｄ＝３ｘです。
よって、弧ＡＥ：弧Ｃ Ｄ＝１：３です。

お礼

わかりやすい解答有難うございます。
ずっと考え悩んでいたので、本当に助かりました。

回答No.4

zarbon

弧の長さは、中心角の大きさに比例します。
だから、弧AE：弧CD = ∠AOE：∠CODになります。

∠AOE = x, ∠COD = y とおきます。
直線lとx軸の交点をPとすると、P(6,0)でAP = √10になります。
円の半径は√10なので、AP = AO　よって∠AOP = ∠APO = x,
∠OACは∠Aの外角なので、∠OAC = ∠AOP + ∠APO = 2x
円周角は中心角の半分より、∠ODA = x/2
OA = ODより∠OAD = x/2
よって∠DAC = 2x - x/2 = (3/2)x

一方、∠DAC = y/2 (円周角は中心角の半分)なので、
(3/2)x = y/2 ⇔ 3x = y ⇔ x：y = 1：3

・・・これを入試本番で解くのはかなり難しいと思います・・・

お礼

本当に高校入試本番で解けるのか厳しいところですが、
自分の中で解答がわかってよかったです。
ご回答誠に有難うございました。

回答No.2

zarbon

弧の長さは弦の長さに比例しません。
ここが間違いの原因です。

中心角を考えてください。

回答No.1

pontiac_gp

まだ解いていませんが気づいたことを。

弦AEと弦CDの比を求めるわけですが、
これは線分AEと線分CDの比と同じではありません。
違うアプローチが必要なのでは。

お礼

pontiac_gpさま
もう質問を締め切ろうと思うのですが、質問直後にご指摘いただいて、改めて考え直すことができました。本当に有難うございました。