線形空間での複素化"complexification"って

質問

線形空間での複素化"complexification"の定義を探しているのですがなかなか見つかりません。分かりやすくお教え下さい。

回答No.4

jmh

複素数体とのテンソル積と同んなじみたい…。

回答No.3

jmh

複素数体とのテンソル積のコトをそう言うのかなぁ…

回答No.2

ojisan7

線形空間での複素化の定義はいろいろな流儀がありますが、下記参考URLの「定義3.5.1の1)」が一般的ですよね。

参考URL：

http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/linalg/linalg2.pdf

お礼

ご回答大変有難うございます。ちょっと疑問が有ります。

> 線形空間での複素化の定義はいろいろな流儀がありますが、下記参考URLの「定義
> 3.5.1の1)」が一般的ですよね。
> http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/linalg/linalg2.pdf

えーと、R上のベクトル空間Vにおいて
Vc:=V(+)Vと置き、J:pr1(V)×pr2(V)→pr1(V)×pr2(V)を次のように定義する。
∀z∈Vc,∃1z1,z2∈V;z=z1+z2,J(z)=J(z1,z2)=(-z2,z1) (∃1は一意的に存在するを意味する)
この時、JJ(z1,z2)=J(-z2,z1)=(z1,z2)となり、JJはpr1(V)×pr2(V)での恒等写像となる事が分かる。
スカラー倍(α+βi)z=(α+βi)(z1+z2):=αz+βJ(z1,z2)=αz+β(-z2,z1)=αz+β(-z2+z1) …(*)
=αz1+αz2-βz2+βz1=(α+β)z1+(α-β)z2
と定義する。
x,y,z∈Vc(=V(+)V)に対して,
(i) x+y+z=x+(y+z)
(ii) x+0=0+x=x
(iii) x+(-x)=0
(iv) x+y=y+x
(v) (c+d)x=cx+xd
(vi) c(x+y)=cx+cx
(vii) cdx=c(dx)
(viii) 1x=x
が成立する事を確かめる。
(i)は省略,(ii)はVの零元0vを0に取ればよい。
(iii),(iv)は省略。(v)はc=α1+β1i,d=α2+β2iの時、
c+d=(α1+α2)+(β1+β2)iと書き直せ
(左辺)=(α1+α2)x+(β1+β2)(-x2+x1) (∵(*))
(右辺)=α1x+β1(-x2+x1)+α2x+β2(-x2+x1)=(α1+α2)x+(β1+β2)(-x2+x1)
で成立。
(vi),(vii),も同様にして等号成立が示せる。
(viii)は
1x=1(x1+x2)(∵Vc=V(+)V)=1x1+1x2(∵(vi))=x1+x2(∵線形空間Vでの1x=1成立を使え)
=x
でこれも成立。

つまり、纏めると実線形空間Vふたつの直和Vcに複素スカラー倍の定義して複素線形空間に仕立てあげる事を"実線形空間Vの複素化"と呼ぶのですね。

何か間違ってましたらご指摘ください。

回答No.1

noname#221368

同じ複素化といっても、お求めのものと違うかもしれませんが、

　　力学系入門，スメール／ハーシュ，岩波書店
ISBN：9784000061308

の数学的準備の部分に、線形空間の複素化が載っています。