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線形空間についての質問です
線形空間Vのある部分空間W₁とW₂についてW₁∩W₂={0}のときdimW₁+dimW₂=dim(W₁+W₂)となることを証明せよ この問題が分かりません…
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線形空間Vのある部分空間W1とW2について W1∩W2={0}の時 n=dimW1 m=dimW2 {e_k}_{k=1~n}をW1の基底 {e_k}_{k=n+1~n+m}をW2の基底 とすると 任意の u∈W1+W2 に対して u=v+w v∈W1 w∈W2 となるv,wがある {e_k}_{k=1~n}はW1の基底だから v=Σ_{k=1~n}(a_k)(e_k) となる(a_k)_{k=1~n}がある {e_k}_{k=n+1~n+m}はW2の基底だから w=Σ_{k=n+1~n+m}(a_k)(e_k) となる(a_k)_{k=n+1~n+m}があるから u=v+w=Σ_{k=1~n+m}(a_k)(e_k) となる(a_k)_{k=1~n+m}がある v+w=Σ_{k=1~n+m}(a_k)(e_k)=0 のとき v=-w∈W2 だから v∈W1∩W2={0} だから v=Σ_{k=1~n}(a_k)(e_k)=0 {e_k}_{k=1~n}はW1の基底で一次独立だから (a_k)_{k=1~n}=(0)_{k=1~n} w=-v∈W1 だから w∈W1∩W2={0} だから w=Σ_{k=n+1~n+m}(a_k)(e_k)=0 {e_k}_{k=n+1~n+m}はW2の基底で一次独立だから (a_k)_{k=n+1~n+m}=(0)_{k=1~n} だから (a_k)_{k=1~m}=(0)_{k=1~m} だから {e_k}_{k=1~n+m}は一次独立だから だから {e_k}_{k=1~n+m}はW1+W2の基底 だから dim(W1+W2)=n+m=dim(W1)+dim(W2) ∴ dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)
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