高校数学の数列の証明問題です 4-4
n個の等式(k+1)^2-k^2=2k+1(k=1,2,...,n)の左辺、右辺をそれぞれ加え合わせることにより、
(n+1)^2-1=2Σ[k=1→n]k+nがえられ、これから、Σ[k=1→n]k=1/2・n^2+n/2が導かれる
この方法を一般化してΣ[k=1→n]k^p(pは自然数)はnのp+1次の多項式として表されることかを、pに関する数学的帰納法を用いて示し、またそのときのn^(p+1)とn^pの係数を求めよ
解説はΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式でΣ[k=1→n]k^pは、nのp+1次式でΣ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)
+1/2・n^p+...(*)という命題は、p=1のとき問題文により真である、つぎに2項定理により、自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるが、このkに1,2,,,,nを代入した式を
辺ごとに加えることによって、(n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～
となる ここで、p<=m-1のとき(*)が真であると仮定すると～の部分はm-1次以下であるから
Σ[k=1→n]k^mのm次以上の部分は(1/m+1C1)・{(n+1)^(m+1)-m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)}
のm次以上の部分に等しく、この式のm次以上の部分は2項定理および帰納法の仮定により
{1/(m+1)}・｛n^(m+1)+(m+1)n^m-(m+1)m/2・n^m/m}=1/(m+1)・n^(m+1)+n^m/2 よって
(*)はp=mのときも真である、したがって(*)はつねに真であるとあるのですが
最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし
Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？
自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故
m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？
(n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故等号で同じになるのか分かりません、それとこの式をp<=m-1の時で考えるのが分かりません
Σ[k=1→n]k^mはm-1次以下とあるのですが、m次以下じゃないですか？m乗ですし、m次以上の部分が(1/m+1C1)・{(n+1)^(m+1)-m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)}のm次以上の部分に等しいというのが良く分かりません、m次以上の部分が
{1/(m+1)}・｛n^(m+1)+(m+1)n^m-(m+1)m/2・n^m/m}=1/(m+1)・n^(m+1)+n^m/2となるのも良く分かりません と殆ど良く分からないですが、是非宜しくお願いします
お礼
ありがとうございます。後は自分でよく考えてみます。