関数の最大値、最小値

質問

関数 f ( x ) = 2x + √1-x^2 の最大値と最小値を求めよ。
f ( x ) = 2x + √1-x^2
f ' ( x ) = 2 + 1/2 ・( 1 - x^2 )^-1/2 × ( -2x )
= 2 - x /√1-x^2
= { 2√(1-x^2) - x }/ √1-x^2
ｆ ' ( x ) = 0 とすると
2√(1-x^2) - x　= 0
2√(1-x^2) = x
両辺を2乗すると
4 ( 1 - x^2 ) = x^2
4 - 4x^2 = x^2
x^2 = 4 / 5
x = ± 2 / √5
(1)をみたすのは
x = 2 / √5
ｆ( 2 / √5 ) = 4 / √5　+ √1 -4 /5
= 4 /√5 + 1 / √5　＝　√5
最大値√5 ( x = 2 / √5 )
最小値-2 ( x = - 1 )

上の(1)を満たすのはのところの、(1)をノートに書き忘れていたため
なぜ、x = 2 / √5　なのかわかりません。教えてください。お願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

＞　2√(1-x^2) = x　　・・・（１）
＞　両辺を2乗すると
＞　4 ( 1 - x^2 ) = x^2
＞　4 - 4x^2 = x^2
＞　x^2 = 4 / 5
＞　x = ± 2 / √5
＞　(1)をみたすのは
＞　x = 2 / √5

x＞0でないとまずですよね。

お礼

ありがとうございます、納得です。

回答No.4

take_5

微分を持ち出す必要もないように思うけど。。。。？

x ＝cosθ（0≦θ≦π）とおけるから、f ( x )はＰ＝2cosθ＋sinθであるから、Ｐ＝√5*sin（θ＋α）‥‥‥としてもいいし、それから先が考えにくければ、b＝sinθ、a＝cosθ、a＾2＋b＾2＝1（b≧0）と置いて　k＝2a＋bとしてab平面上でのkの値域として考えても良いし。。。。笑い

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

zk43

「2√(1-x^2) = x
　両辺を2乗すると
　4 ( 1 - x^2 ) = x^2
　4 - 4x^2 = x^2
　x^2 = 4 / 5
　x = ± 2 / √5」
のところは、2√(1-x^2) = xで左辺は正なので、xも正でなければなら
ず、x = - 2 / √5は解として認められない。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

2√(1-x^2) = x
じゃないとダメなんでしょ?

お礼

ありがとうございました。単純でした。。。