二次関数の最大・最小の問題です。

質問

0≦x≦4のとき関数y=(x２乗-4x＋3)(-x２乗＋4x＋2)-2x２乗＋8x-1の
最大値、最小値とそのときのxの値を求めよ。

という問題です。

全然わからないので詳しく教えてください。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞0≦x≦4のとき関数y=(x２乗-4x＋3)(-x２乗＋4x＋2)-2x２乗＋8x-1の
＞最大値、最小値とそのときのxの値を求めよ。

ｙ＝（ｘ^2－４ｘ＋３）（－ｘ^2＋４ｘ＋２）－２ｘ^2＋８ｘ－１
　＝｛（ｘ^2－４ｘ）＋３｝｛－（ｘ^2－４ｘ）＋２｝－２（ｘ^2－４ｘ）－１
ｘ^2－４ｘ＝Ｔとおく
Ｔ＝ｘ^2－４ｘ
　＝（x^2－４ｘ＋４）－４
　＝（ｘ－２）^2－４より、
ｘ＝２のとき、Ｔの最小値は－４
ｘ＝０，４のとき、Ｔ＝０だから、
－４≦Ｔ≦０（０≦ｘ≦４）……（１）

ｙ＝（Ｔ＋３）（－Ｔ＋２）－２Ｔ－１
　＝－Ｔ^2－３Ｔ＋５　……（２）
　＝－（Ｔ+3/2）^2＋29/4
Ｔ＝-3/2のとき、最大値29/4　
このとき、ｘ^2－４ｘ＝-3/2より、２x^2－８ｘ＋３＝０
これを解いて、ｘ＝（４±√１０）／２
これは、０≦ｘ≦４の範囲を満たす。だから、Ｔ＝-3/2は、（１）の範囲を満たす。
よって、ｘ＝（４±√１０）／２のとき、最大値２９／４

Ｔの区間の端の値を調べると、
Ｔ＝－４（ｘ＝２のとき）を（２）に代入して、ｙ＝１
Ｔ＝０（ｘ＝０，４のとき）を（２）に代入して、ｙ＝５
よって、ｘ＝２のとき、最小値１

になりました。

お礼

ありがとうございます！
助かりました

回答No.1

noname2727

まず、上の関数は２次関数ではありません。
x^2-4x=Aとおく。
変形によって、
y=-(A-3/2)^2+29/4
ここで
A=(x-2)^2-4なので０≦ｘ≦４から-４≦Ａ≦０が分かる。
よって
Ａ＝０のとき最大値５
Ａ＝－４のとき最小値１
が分かる
つまり、
ｘ＝０ or ４ のとき最大値５で
x=2のとき最小値１
わかりましたか？