Span setって?線形代数の問題が解けません

質問

P2を次数2の多項式の集合とする。
(1) ベクトルx1,x2,x3:は一次独立か?
(2) ベクトルx1,x2,x3:はP2のspan setか?
(3) P2の任意のベクトルはx1,x2,x3の一次結合で表せるか?
x1:=1+t
x2:=1-t
x3:=1-t^2

(1)の解
ax1+bx2+cx3=0とおくと
a(1+t)+b(1-t)+c(1-t^2)=0
-ct^2+(a-b)t+(a+b+c)=0.
これはtについての恒等式になっているので
-c=a-b=a+b+c=0でなければならない。
したがって、a=b=c=0で一次独立。

で正しいでしょうか?

あと、(2),(3)の解き方をお教え下さい。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>x1:=1+t
>x2:=1-t
>x3:=1-t^2

>(1)の解
>ax1+bx2+cx3=0とおくと
>a(1+t)+b(1-t)+c(1-t^2)=0
>-ct^2+(a-b)t+(a+b+c)=0.
>これはtについての恒等式になっているので
>-c=a-b=a+b+c=0でなければならない。
>したがって、a=b=c=0で一次独立。

で正しいと思います。

>(2),(3) .....

任意の二次多項式 a2*x^2+a1*x+a0 が k1x1+k2x2+k3x3 で表せれば OK 。

お礼

お陰様で納得できました。
どうもご説明有難うございました。

回答No.1

koko_u_

>これはtについての恒等式になっているので
違います。多項式から成るベクトル空間の基底が 1, t, t^2, ... だということを意識しましょう。

span set の定義は？ x1, x2, x3 で生成されるベクトル空間のことなら、P2はそもそもベクトル空間ではないですか？

お礼

> 違います。
そうしますと、(1)はどのようにして解くのでしょうか?

> span set の定義は？
x1,x2,…,xn がベクトル空間Vのspan set
⇔
∀x∈V,∃α1,α2,…,αn∈F:体 such that x=α1x1+α2x2+…+αnxn
です。