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Span setって?線形代数の問題が解けません
P2を次数2の多項式の集合とする。 (1) ベクトルx1,x2,x3:は一次独立か? (2) ベクトルx1,x2,x3:はP2のspan setか? (3) P2の任意のベクトルはx1,x2,x3の一次結合で表せるか? x1:=1+t x2:=1-t x3:=1-t^2 (1)の解 ax1+bx2+cx3=0とおくと a(1+t)+b(1-t)+c(1-t^2)=0 -ct^2+(a-b)t+(a+b+c)=0. これはtについての恒等式になっているので -c=a-b=a+b+c=0でなければならない。 したがって、a=b=c=0で一次独立。 で正しいでしょうか? あと、(2),(3)の解き方をお教え下さい。
- AkiTamura
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>x1:=1+t >x2:=1-t >x3:=1-t^2 >(1)の解 >ax1+bx2+cx3=0とおくと >a(1+t)+b(1-t)+c(1-t^2)=0 >-ct^2+(a-b)t+(a+b+c)=0. >これはtについての恒等式になっているので >-c=a-b=a+b+c=0でなければならない。 >したがって、a=b=c=0で一次独立。 で正しいと思います。 >(2),(3) ..... 任意の二次多項式 a2*x^2+a1*x+a0 が k1x1+k2x2+k3x3 で表せれば OK 。
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- koko_u_
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>これはtについての恒等式になっているので 違います。多項式から成るベクトル空間の基底が 1, t, t^2, ... だということを意識しましょう。 span set の定義は？ x1, x2, x3 で生成されるベクトル空間のことなら、P2はそもそもベクトル空間ではないですか？
お礼
> 違います。 そうしますと、(1)はどのようにして解くのでしょうか? > span set の定義は？ x1,x2,…,xn がベクトル空間Vのspan set ⇔ ∀x∈V,∃α1,α2,…,αn∈F:体 such that x=α1x1+α2x2+…+αnxn です。
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