微分の問題

質問

初歩的な質問ですみません。

「Yの二乗を Xで微分すると、2YY' になる」

というのが何故そうなるのかわかりません。

そうなる理由…というか求め方をしらないと身につけられなそうなので、よろしければ説明をお願いします。

回答No.4

kumipapa

合成関数の微分ですね。
y = f(x) , h(x) = x^2 とすると、h(y) = y^2 = f(x)^2
このとき、なぜ h(y) を x で微分すると (d/dx) h(y) = 2y y’= 2f(x)f’(x) となるか、という質問内容で良いですね。

微分の定義というか、元の式に立ち戻って考えます。
h(y)をxで微分するということは、（hの微小変化量)/(xの微小変化量）を求めるということですから、
xの微小変化量をΔxとすると、hの微小変化量はh(f(x+Δx)) - h(f(x))です。
したがって、

d/dx h(y) = lim(Δx→0){ ( h(f(x+Δx)) - h(f(x)) ) / Δx } ・・・（１）

ここで、y= f(x) , Δy = f(x+Δx) - f(x) とおくと、 f(x+Δx) = f(x) + Δy = y + Δy
すると、 h(f(x+Δx)) - h(f(x)) = h(y+Δy) - h(y) です。

これを(1)式に代入して、かつ式をちょっと変形すると・・・

(d/dx) h(y) = lim(Δx→0)[ {(h(y+Δy) - h(y))/Δy}{Δy/Δx}]　・・・（２）

ここで、Δx→0のときΔy→0で、
lim(Δy→0)(h(y+Δy) - h(y))/Δy = h’(y)　（ｈ(y)をyで微分）
lim(Δx→0)Δy/Δx = y’ (ｙをxで微分）

ですから、

(d/dx)h(y) = h’(y) y’　　　　　・・・（３）
　　　　　　= 2y y’
　　　　　　= 2f(x) f’(x)

h(y)=y^2 の場合は、h’(y) = 2y y’ ですが、一般的に、合成関数の微分は、（３）式　h’(y) y’ = h’(f(x)) f’(x) で与えられます。

なお、
dh/dx = (dh/dy)(dy/dx) = h’(y) y’
と簡単に説明することができますが、この(dh/dy)(dy/dx)の部分をくどく書いたのが、（２）式です。

お礼

お礼が大変遅くなりすみません。

申し訳ないのですが、こちらでみなさんへの回答をさせていただきます。

詳しく説明くださった方々ありがとうございました。
よく復習します。

回答ありがとうございました。

回答No.3

fuuraibou0

ｙ＝ｘ^6を微分すると，ｙ’＝６ｘ^5 ですね。

これを ｙ＝ｘ^6 ＝(ｘ^2)^3 にして微分すると，

ｙ’＝{３(ｘ^2)^2}＊２ｘ＝６ｘ^5 で結果は同じです。
　　　　　↑この部分を微分して掛ける

すなわち，ｙ＝ｘ^2 として，ｙ^3 を微分すると，

(ｙ^3)’＝３ｙ^2＊y’={３(ｘ^2)^2}＊２ｘ＝６ｘ^5

回答No.2

noname#46689

こんにちは

まずfをyで微分して（fをyで微分するのは簡単だから）、しかる後にyをxで微分した物を掛けておく。合成関数の微分ってすばらしいチエですね。

回答No.1

noname#47050

私も高校時代は「形式微分(2Y)と中身微分(Y')の積」と習っただけでした。
観念的な説明ですが、f(y)=Y^2とおくと求めたい微分df/dxは
df/dx=df/dy*dy/dx=2Y*Y'
となります。左辺から中辺への数学的な証明は解析学で学ぶと思います。