√ｎが有理数である又はないことの証明。

質問

√３が有理数でないことを、背理法で論証する場合。
√3=a/b（aとbは互いに素であるとする。）と置く。
3b^2=a^2である。
a^2は３の倍数であるので、aは３の倍数であり、a=3cとおくことができる（この事は対偶の真偽で論証できる。）
3b^2=9c^2
b^2=3c^2
であり、b^2が３の倍数なので、bも３の倍数であることが分かる。
よって、a/bは既約分数であることから矛盾が生じ、有理数でないことが言える。
これが√3が有理数でないことの証明だそうです。

次に、nを整数として、√ｎが有理数でないことを、背理法で論証する場合。
√n=a/b（aとbは互いに素であるとする。）と置く。
nb^2=a^2である。
a^2はnの倍数であるので、aはnの倍数であり、a=ncとおくことができる
nb^2=n^2c^2
b^2=nc^2
であり、b^2がnの倍数なので、bもnの倍数であることが分かる。
よって、a/bは既約分数であることから矛盾が生じ、有理数でないことが言える。

ただしn=1.4.9.16・・・といった場合、√n=1.2.3.4・・・といったように、√nは有理数になってしまいます。
このやり方では√nが有理数でも、有理数でないと言えてしまいます。

√ｎが有理数の場合、有理数であると論証でき、√ｎが無理数の場合、有理数でないと論証できる方法を教えてください。

回答No.1

ny_bigappl

は？

√ｎが有理数の場合、有理数であると・・

√ｎが有理数なら、有理数なんじゃないんですか？論証もなにもないとおもいます。

、√ｎが無理数の場合、有理数でないと・・

√ｎが無理数なら有理数ではないんじゃないんですか？論証もなにもないとおもう

補足

√ｎ（n>0）の場合、有理数と無理数が存在します。有理数と仮定して問題を解いていくと矛盾が生じます。ということは無理数になってしまいます。
しかし、実際は有理数と無理数が存在しているわけですからこの論証は間違っているわけですよね。なんで、n=1.4.9.16・・・の場合、仮定に矛盾が生じないという論証の仕方が知りたかったんですよ。
すいませんね。意図がわかりづらくて・・・。