a^n+b^nの因数分解の仕方

質問

こんにちは。

a^n+b^nを因数分解したいのですが、
a^n+b^nをaの式と見た時に因数定理でnが奇数の時は
（a+b）が因数になることは分かったのですが、
残りの因数の求め方として

(1)a^n+b^nを（a+b）で直接割り算する。（相当分かりづらい）
(2)組み立て除法を使う　（nが未知数だと結構分かりづらい）

の2通りの方法を思い付いたのですが、
どちらも面倒で分かりづらい気がします。

もう少し見通しの良い方法をご存知の方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.6

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

皆さんの方法で良いのですが、少し違うかんじのものを示しますね。
本質的にはすべて同じ計算なので、説明の仕方が違うだけなんですよね。

nは奇数です。

a^n + b^n
= a^n
　+ a^{n-1} b 　 - a^{n-1} b
　- a^{n-2} b^2 + a^{n-2} b^2
　　　　　　　・・・
　+ a^2 b^{n-2} - a^2 b^{n-2}
　- a b^{n-1} + a b^{n-1}
　+ b^n

これはいったい何者かというと、右辺で、
　第2項+第3項=0、
　第4項+第5項=0、
　　・・・・・
　第(2n-2)項+第(2n-1)項=0
を挟んでいるだけです。

今度は組合せをかえて、
　第1項+第2項 = a^{n-1} (a+b)
　第3項+第4項 = - a^{n-2} (a+b) b
　　・・・・・
　第(2n-1)項+第2n項 = (a+b) b^{n-1}
と見ると、どの組も(a+b)でくくれます。

従って、

a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2} b + - … + b^{n-1})

が得られます。

お礼

長い間お礼ができずにどうもすみませんでした。

改めて見ましてもとてもすごい回答ですね^^
これを思いつくのはすごいです。^^;

どうもありがとうございました。

回答No.7

aquarius_hiro

A No.6です。

もう一つ別の見方を説明しますね。

a と b が何かの単位を持っていると考えるとわかりやすいです。
例えば、m（メートル）としましょうか。

a^n + b^n = (a+b) (・・・)

と書いたときに、両辺の単位が等しく m^n となるためには、
(・・・) は、m^{n-1} の単位でないといけませんね。

従って、(・・・) は、k=0,1,2, …, n-1 として、

　　C_k a^{n-1-k} b^k

の形の項の和になります。C_k は定数の係数です。
（因数分解できることがわかっているので、負のべきはありません。）

すなわち、

a^n + b^n = (a+b) (C_0 a^{n-1} + C_1 a^{n-2} b + … + C_{n-2} a b^{n-2} + C_{n-1} b^{n-1})

と書けます。

両辺の a^{n-k} b^k の係数を比較すると、

a^{n-0} b^0 の係数：　1 = C_0
a^{n-1} b^1 の係数：　0 = C_0 + C_1
a^{n-2} b^2 の係数：　0 = C_1 + C_2
　　　・・・・・
a^1 b^{n-1} の係数：　0 = C_{n-2} + C_{n-1}
a^0 b^{n-0} の係数：　1 = C_{n-1}

故に、1 = C_0 = - C_1 = C_2 = ・・・= - C_{n-2} = C_{n-1} = 1

故に、

a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3} b^2 - … + b^{n-1})

が得られます。

お礼

こちらの回答も脱帽です・・・^^;

どうもありがとうございました。

回答No.5

noname#57316

1+r+r^2+r^3+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r) において、
r=-(b/a)とすると
nが奇数の時、
1-(b/a)+(b/a)^2-(b/a)^3+・・・・+(b/a)^(n-1)={1+(b/a)^n}/{1+(b/a)}
これから
{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}・(a+b)=a^n+b^n
つまり、nが奇数の時
a^n+b^n=(a+b)・{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}
と因数分解できる。

お礼

長い間、お礼ができずにすみませんでした。

この度は本当にどうもありがとうございました。

回答No.4

info22

まず
(A)n=偶数の場合は
a^2=A,b^2=Bとおけば
A^m+B^m (m=n/2)となりますね。
mが奇数なら
(A+B)=(a^2+b^2)が因数になります。
mが偶数なら(A)の手順を繰り返します。

奇数になれば因数分解します。
kが奇数の時
a^k+b^k=(a+b)(Σ[i=1,k] a^(k-i)(-b)^(i-1))

たとえば
n=2m,m=odd(奇数)の場合
a^n+b^n=A^m+B^m=(A+B)(Σ[i=1,m] A^(m-i)(-B)^(m-1))
=(a^2+b^2)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^2(m-i)b^2(m-1))
となります。
n=4m,m=oddの場合
a^n+b^n=(a^4+b^4)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^4(m-i)b^4(m-1))
…

参考までに
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b^2)
a^5+b^5=(a+b)(a^4-ab^3+a^2b^2-a3b+b^4)
a^7+b^7=(a+b)(a^6-ab^5+a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^5b^1+b^6)
a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3)
…
a^27+b^27=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)(a^18-a^9b^9)+b^18)
…

a^4+b^4=(a^2+b^2+√2ab)(a^2+b^2-√2ab)
a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)
a^8+b^8=(a^4+b^4+√2a^2b^2)(a^4+b^4-√2a^2b^2)
a^10+b^10=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8)
…
a^30+b^30=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)(a^8-a^2b^6+a^4b^4-a^2b^4+b^6)(a^16+a^14b^2-a^10b^6-a^8b^8-a^6b^10+a^2b^14+b^16)
…

手計算では計算が面倒ですね。特に因数分解ができるか、どうかを最後まで（素因数分解できるまで）調べるのはｎの次数が大きくなると、手計算だけでなく、数式ソフトを使っても大変で、時間も掛かります。

お礼

回答どうもありがとうございます。

nが偶数の時でもnによっては因数分解できたんですね。
私は何の根拠もなく、n=２、４ができないから
因数分解は奇数のみ可能だと思い込んでました。

>a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3)

これも驚きです。
nが増えれば、３項以上の因数に分解できるのですね。
予想してなかったです。

とても勉強になります。
どうもありがとうございます。

回答No.3

noname#101087

>ｎが奇数の時の話です。

m が自然数の場合の公式、
　　c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)]
を使う手があります。
c=a, d=-b とおき、m=n(奇数)ならば...... 。

お礼

回答どうもありがとうございます。

『c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)』

とりあえずこの式を覚えておいて、後からd=-bに置き換えるのですね。
『c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)』は２番目の因数に符号変化がないので憶えやすく、直接導くより間違いが減りそうですね。

思い付かなかったです。
どうもありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

帰納法的に考えるってのはどうでしょ?
例えば
n = 1: a^n + b^n = (a+b)・1
n = 3: a^n + b^n = a(a^2 - b^2) + b^2(a^1 + b^1) = (a+b)[a(a-b)] + b^2[(a+b)・1]
= (a+b) (a^2 - ab + b^2)
n = 5: a^n + b^n = a^3 (a^2 - b^2) + b^2(a^3 + b^3) = (a+b)[a^3(a-b)] + b^2[(a+b)(a^2 - ab + b^2)]
= (a+b) (a^4 - a^3b + a^2 b^2 - ab^3 + b^4).
一般的に
a^n + b^n = a^(n-2) (a^2 - b^2) + b^2 (a^(n-2) + b^(n-2))
ですね.

お礼

回答どうもありがとうございます。

なるほど。帰納法的にですね。
参考になりました。
どうもありがとうございます。

回答No.1

N64

（a+b）は因数には、必ずしもならないのではないでしょうか？
n=2 とした場合、a^2+b^2 の因数ではないではないかと、思いますが。
私の間違いなら、ごめんなさい。

補足

>a^n+b^nをaの式と見た時に因数定理で『nが奇数の時』は
>（a+b）が因数になることは分かったのですが、

ｎが奇数の時の話です。
また何か気付いたことがありましたら書き込んでください。

それでは引き続きよろしくお願いします。