空間上の直線についての問題です。

質問

点(-3，-11，0)を通り２直線
(x-1)/2=(y-5)/3=(z-2)/-2 (x)/-1=(y-2)/2=(z+2)/-1
のいずれにも交わる直線の方程式を求めよ。

と、いう問題なのですが解けなくて何ともすっきりしません・・・
どなたか教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

ちょっと面倒なだけで、普通のやり方で解けますよ。

二つの直線は
(x-1)/2=(y-5)/3=(z-2)/(-2)=p
x/(-1)=(y-2)/2=(z+2)/(-1)=q
とおくと、

(x,y,z) = (1,5,2) + (2,3,-2) p
(x,y,z) = (0,2,-2) + (-1,2,-1) q

と書けますよね。求める直線とこれらの交点を点A、点Bとおきます。
問題の通る点(-3,-11,0)を点Pとします。
ベクトルAPとベクトルBPは平行だから、
より、実数mを用いて、

m[ (1,5,2) + (2,3,-2)p - (-3,-11,0)]
= (0,2,-2) + (-1,2,-1)q - (-3,-11,0)

と書けます。これを整理して、

(4+2p)m = 3-q　…　(1)
(16+3p)m = 13 + 2q
(2-2p)m = -2 -2q

の3つの式が得られますので、
あとはこれを解いて3変数p,q,mを求めればよいわけです。

qを消去すると、
(24+7p)m = 19
(20-p) m = 9

mを消去すると、9(24+7p) = 19(20-p)
故に、p=2
故に、m=1/2

(1)式より、
q = 3 - (4+2p)m = 3 - 8/2 = -1

故に、交点は　
A:(5,11,-2)
B:(1,0,-1)

これより、ベクトルBP=(4,11,-1) が得られます。

点P(-3,-11,0) を通り、方向が(4,11,-1)の直線が求める直線だから、
(x+3)/4 = (y+11)/11 = z/(-1)
と求まります。

回答No.2

yhposolihp

vectorもparameterも、上手く行かないので、
兎に角、解くだけ解いて見ました。

(x-1)/2=(y-5)/3=(z-2)/-2 直線ｍ
(x)/-1=(y-2)/2=(z+2)/-1 直線ｎ
(-3，-11，0)　・・・点Ｐ

直線ｍ、点Ｐで平面Ａを定める。
（点Ｐを通り、直線ｍに平行な直線は除かれる。）
直線ｎ、点Ｐで平面Ｂを定める。
（点Ｐを通り、直線ｎに平行な直線は除かれる。）

平面Ａと平面Ｂの交線が（解）となる。
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(x-1)/2=(y-5)/3=(z-2)/(-2) 直線ｍ

(x-1)/2=(y-5)/3,,,,(y-5)/3=(z-2)/(-2)
3(x-1)=2(y-5),,,,,,(-2)(y-5)=3(z-2)
3x-3=2y-10,,,,,,-2y+10=3z-6
3x-2y+7=0,,,,,0=2y+3z-16

直線ｍを含む平面群は、
K{3x-2y+7}+L{2y+3z-16}=0

点Ｐを含む、
K{3(-3)-2(-11)+7}+L{2(-11)+3(0)-16}=0
K{-9+22+7}+L{-22-16}=0
20K=38L,,,10K=19L,,,,K=19,,,L=10
19{3x-2y+7}+10{2y+3z-16}=0
{57x-38y+133}+{20y+30z-160}=0
57x-18y+30z-27=0

平面Ａ : 19x-6y+10z-9=0
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(x)/(-1)=(y-2)/2=(z+2)/(-1) 直線ｎ

(x)/(-1)=(y-2)/2,,,(y-2)/2=(z+2)/(-1)
-2x=y-2,,,,,,,y-2=-2z-4
0=2x+y-2,,,y+2z+2=0
K{2x+y-2}+L{y+2z+2}=0
K{2(-3)+(-11)-2}+L{(-11)+2(0)+2}=0
-19K=9L
K=9,,,,L=-19
9{2x+y-2}-19{y+2z+2}=0
{18x+9y-18}+{-19y-38z-38}=0
18x-10y-38z-56=0
平面Ｂ : 9x-5y-19z-28=0
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
平面Ａ 19x-6y+10z-9=0
平面Ｂ 9x-5y-19z-28=0

19(x+3)-6(y+11)+10z=0 (*)
9(x+3)-5(y+11)-19z=0

95(x+3)-30(y+11)+50z=0
54(x+3)-30(y+11)-114z=0

41(x+3)+164z=0
　　(**) (x+3)+4z=0

(*)に代入して、
　19(-4z)-6(y+11)+10z=0
　　-76z+10z-6(y+11)=0
　-66z-6(y+11)=0
(***)11z+(y+11)=0

z=(y+11)/(-11)
(**)より、(x+3)/(-4)=z

(x+3)/(-4)=(y+11)/(-11)=z (解）

直線ｍとの交点は、(5,11,-2)
直線ｎとの交点は、(1,0,-1)
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回答No.1

banakona

(x-1)/2=(y-5)/3=(z-2)/-2 ・・・直線ｍ
(x)/-1=(y-2)/2=(z+2)/-1　・・・直線ｎ
(-3，-11，0)　・・・点Ｐ

方針:直線ｍ上の点をＭ、直線ｎ上の点をＮとし、「ベクトルＰＭとベクトルＰＮが平行」を条件として連立方程式を立てると、Ｍ、Ｎの座標をすっきりと求めることができます。これにより求める直線の方向ベクトルが分かるので、あとは簡単（回答者にとっては簡単だけど採点者はタイヘンだ！答えが無数にあるので。）

Ｍは、上記ｍの式を例えば「＝ｓ」と置いて、ｘ＝、ｙ＝、ｚ＝の式にすればいい。ここからベクトルＰＭを求める。同様のことをＮについても行う。
３元連立２次方程式が出てきて「ウゲ！」と思うかもしれないけれど見掛け倒しです。あっさり解けますので、がんばってください。