直線の方程式

質問

x+2/3z=-0.5
y-2z=1
の直線の方程式
(x-1)/-3=(y+1)/4=(z+1)/2
の求め方を教えてください<m(__)m>

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x+(2/3)z=-0.5
は間違いで
　x+(3/2)z=-0.5
が正しい式ではありませんか？

そうでないと直線の方程式がお書きの式になりません。

直線の方程式は、２つの平面
　x+(3/2)z=-0.5　...(A)
　y-2z=1 ...(B)
の交線の式になります。
交線の直線の式は一意的には決まりません。
直線の方向ベクトルと、通る点により直線が確定します。
しかし、通る点は、直線上の点であれば、どの点でも構わないですから
直線上の点を(a,b,c)とすればこの点を通る直線は
　(x-a)/-3=(y-b)/4=(z-c)/2 ...(C)
となります。
直線上の点は(A),(B)からいくつでも求まります。
例えば
　z=0とすれば　x=-1/2, y=1 より 直線上の点の座標の１つは(-1/2,1,0)
　z=1とすれば　x=-2, y=3 より 直線上の点の座標の１つは(-2,3,1)
　z=-1とすれば　x=1, y=-1 より 直線上の点の座標の１つは(1,-1,-1)
点(1,-1,-1)から点(-2,3,1)に向かう方向ベクトルは(-2-1,3-(-1),1-(-1))=(-3,4,2)
原点を通る方向ベクトル(-3,4,2)の直線は
　x/(-3)=y/4=z/2　...(D)
この直線を点(a,b,c)=(1,-1,-1)を通るように平行移動すれば
　(x-1)/(-3)=(y+1)/4=(z+1)/2　...(E)
となります。これが求める直線の方程式の１つ（(A),(B)の交線である直線の方程式）です。これがたまたまお書きの直線の方程式になっています。
また、点(a,b,c)=(-2,3,1)を通るように平行移動すれば
　(x+2)/(-3)=(y-3)/4=(z-1)/2 ...(F)
となります。これも(A),(B)の交線である直線の方程式です。
(E）と(F)は同じ直線の方程式ですが、表現形式が異なります。
なので同じ直線の方程式は、表現形式は何通りも存在することを覚えておいてください。
通る基準点の座標として、簡単な整数比となるような座標(a,b,c)を選ぶのが普通です。
　直線の式は(C)のように表されます。
他の基準点(a',b',c')を選んだとしても直線の方程式として間違いではないので勘違いしないようにしてください。

回答No.3

178-tall

#2 は、
　x+(3/2)z=-1/2
　y-2z=1
から出発してました。　為念。

回答No.2

178-tall

>x+2/3z=-0.5
>y-2z=1
>の直線の方程式 (x-1)/-3=(y+1)/4=(z+1)/2

はじめの 2 つの式にて、{x,y,z} の項わけ。
x + (3/2)z = -0.5 → {x+(1/2)}/3 = -z/2
y-2z=1 → (y-1)/2 = z → (y-1)/4 = z/2

三つ等値させれば、
　{x+(1/2)}/3 = -(y-1)/4 = -z/2
なる直線表示式を得る。

等式 3 辺から 1/2 ずつ引けば、
　(x-1)/(-3) = -(y+1)/4 = -(z+1)/2
になる。