この問題の、前提条件が与える効果について

質問

区間[a,b]において連続な２関数f(x)、g(x)について、g(x)>0なら
　∫f(x)・g(x)dx = f(k) ∫g(x)dx　ただし a ≦ c ≦ b
　積分区間：a≦x≦b
を満たす定数kが少なくとも一つ存在することを示せ。

という問題を解いています。解は下のようにして得ることができました。

関数Ψ(x),G(x)を

　Ψ(x) = ∫f(x)g(x)dx + C
　G(x) = ∫g(x)dx + D

と書く。ただし、CとDは定数。これをxで微分すると

　Ψ'(x) = f(x)g(x)
　G'(x) = g(x)

であり、区間[a,b]で微分可能。よって、コーシーの平均値の定理から

　Ψ'(k)/G'(k) = { Ψ(b)-Ψ(a) }/{ G(b)-G(a) }

ただしG'(x) = g(x) ≠ 0に注意。よって

　f(k) = ∫f(x)・g(x)dx / ∫g(x)dx
　積分区間：a≦x≦b

を満たすkが[a,b]内に存在。これを変形して問題の式は示せる。

ここで疑問なんですがなぜ「g(x)>0」で無ければならないのでしょうか。
0除算を避けるためなら「g(x)≠0」でいいような気がするのですが・・・
「g(x)<0」では何か不都合な起こるのでしょうか。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>0除算を避けるためなら「g(x)≠0」でいいような気がするのですが・・・

gは連続なんですよ．g(x)≠0 だけで，
0除算を避けたかったら
結局，g(x)>0 か g(x)<0 になります．
ということで，g(x)>0 だけを最初から仮定しているのです．
じゃ，g(x)<0の場合はどうなるっていうと
h(x)=-g(x)とおけばh(x)>0だからすでに証明したものに帰着します．
＃fには連続としか仮定がないのでfの代わりに-fを考える

お礼

＞結局，g(x)>0 か g(x)<0 になります

なるほど。よく考えてみれば当たり前ですね、納得です。
場合分けをしなくても良いように問題ができてるんですね。
ありがとうございました。