極限の問題

質問

a+(h/3)=2aθ+hθ^2 のとき　
lim[h→0]θ をa≠0とa=0とで場合分けして求めよ。
という問題がわかりません。どなたか解る方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

a+(h/3)=2aθ+hθ^2

の両辺で h→0 の極限をとってみます。

a≠0 のとき、
lim_{h→0}θ = c が存在するとすると、a = 2ac
故に、lim_{h→0}θ=1/2

c=∞とすると、左辺<∞、右辺→∞ なので、cは有限。

a=0 のときは、h/3 = hθ^2 だから、θ=±√(1/3)

故に、lim_{h→0}θ=±√(1/3)

ですが、±が残るのはまずいわけで、θの符号など条件があるべきだと思います。

お礼

なんとか問題を解くことができました。
回答をくださった皆様、本当にありがとうございました！

回答No.3

koko_u_

求まらんやろ。

θの可能性は解の公式から 2つある。h -> 0 の時に ANo.2 の方の解答のように、θが「おとなしく」一方の符号だけ取るかな？

そんな前提は問題文からは読み取れない。
敢えて解答するなら、a ≠ 0 のときは極限なし。a = 0 の時は 0。

それから
>lim[h→0] (-a±sqrt(a^2-h{(3a+h)/3)})/h となりますよね？
√の中の符号がちごうとる。

回答No.2

noname#101087

>a≠0の場合　lim[h→0] (-a±sqrt(a^2-h{(3a+h)/3)})/h

はしょった勘定ですが、白状しておきます。ご参考まで。(複号の負をとると発散)

　lim[h→0] (-a + sqrt(a^2-h{(3a+h)/3)})/h
　≒ lim[h→0] [-a + a*(1+h{(3a+h)/(6*a^2)}]/h
　= lim[h→0] [h{(3a+h)/(6*a)}]/h
　= lim[h→0] {(3a+h)/(6*a)}
　= …

となり、a の値に無関係となりそうです。

回答No.1

noname#101087

>a+(h/3)=2aθ+hθ^2 のとき　lim[h→0]θ をa≠0とa=0とで場合分けして求めよ。

素直にθに関する二次式を解いてθ(a,h) を求め、lim を勘定するのでしょう。

a=0 の場合だけ。
　(h/3) = hθ^2
　θ^2 = 1/3
　θ = ±1/sqrt(3)

補足

その方法で考えてみたのですが、そうすると、a≠0の場合
lim[h→0] (-a±sqrt(a^2-h{(3a+h)/3)})/h　
となりますよね？
これはどのように計算すればよいのでしょうか？