判別式

質問

［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1＝0　をxに関する判別式にしたいのですが、計算してみると
(1-2m+m^2)x^2+2(mα-β-m^2α+mβ-m-1)x+(m^2α^2-2mαβ+β^2+1)=0　と、
非常に複雑な形になってしいました。
これを判別式で計算するのを考えたら…もっとすっきり整理できるのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.10

noname#101087 · ベストアンサー

>判別式によってでてきたこの　m^2α-m(α+β-1)+β=0
>という二次方程式をｍについて解くとどうなりますか？
>m=(α+β-1)±√(α+β-1)-4αβ/2α　にはなると思いますが、その先がわかりません。

　　m=(α+β-1)±√(α+β-1)^2-4αβ/2α
ですが、これ以上簡単になりそうもありませんね。

せいぜい、
　　m = {(α+β-1)/2α}*{1±√(1-e)}　　ただし　e = 4αβ/(α+β-1)^2
あたりが行き止まりみたいです。

お礼

すみません、^2付けるの忘れてました。そして遅くなってすみませんでした。
やはり、ここまでが限度ですかね。長く私の質問に付き合っていただきありがとうございました。
また何かあったらよろしくお願いします。

回答No.9

noname#101087

debut さんとの答え合わせになりましたが..... 。

>(1-m)^2x^2+2{(1-m)(mα-β+1)-2}x+(mα-β+1)^2=0

判別式 = {(1-m)(mα-β+1)-2}^2 - {(1-m)(mα-β+1)}^2
　　　　= 4*{1-(1-m)*(mα-β+1)}
(D/4 方式です)

お礼

お二人とも同じ答えになり、納得しました。
ありがとうございました！

補足

すみません、補足というか追加で質問したいのですが
判別式によってでてきたこの　m^2α-m(α+β-1)+β=0
という二次方程式をｍについて解くとどうなりますか？
m=(α+β-1)±√(α+β-1)-4αβ/2α　にはなると思いますが、その先がわかりません。
何度も申し訳ありませんが、よろしかったらお願いします。

回答No.8

debut

＞なぜ最初に4が掛けられるのか

Ｄ/４じゃなくて、私の場合、Ｄで計算しているからです。
ｘの係数　2{(1-m)(mα-β+1)-2}を２乗して 4{(1-m)(mα-β+1)-2}^2
だからです。

ところで、
4/D={(1-m)(mα-β+1)-2}^2-(1-m)^2(mα-β+1)^2
を計算すると
-4(1-m)(mα-β+1)+4
=4(m-1)(mα-β+1)+4
=4(m^2α-mβ+m-mα+β-1)+4
=4(m^2α-mβ+m-mα+β)
=4{m^2α-m(α+β-1)+β}
となると思いますが・・・

お礼

ありがとうございます。そうですね、仰るとおりです。
そして、判別式の計算も私の間違いでした。計算の過程まで付けていただき感謝です。

補足

すみません、補足というか追加で質問したいのですが
判別式によってでてきたこの　m^2α-m(α+β-1)+β=0　という二次方程式をｍについて解くとどうなりますか？
m=(α+β-1)±√(α+β-1)-4αβ/2α　にはなると思いますが、その先がわかりません。
何度も申し訳ありませんが、よろしかったらお願いします。

回答No.7

debut

No5です。
続けて、判別式を計算すれば
4{(1-m)(mα-β+1)-2}^2-4(1-m)^2(mα-β+1)^2
＝4(1-m)^2(mα-β+1)^2-16(1-m)(mα-β+1)+16-4(1-m)^2(mα-β+1)^2
＝-16(1-m)(mα-β+1)+16
となりますね。

お礼

私のNo.6さんに対してのお礼で書いた計算の結果とは違いますね。。
>4{(1-m)(mα-β+1)-2}^2-4(1-m)^2(mα-β+1)^2
なぜ最初に4が掛けられるのか教えてもらえませんか。

回答No.6

noname#101087

debut さん、ご指摘に感謝。

>(1-m)^2x^2+2{(1-m)(mα-β+1)-2}x+(mα-β+1)^2=0
ですね。

重根から外れてます。
まったくの勘ぐりですが、二根のずれに意味のある方程式なのかも。

お礼

いろいろ考えてくださりありがとうございました。
>(1-m)^2x^2+2{(1-m)(mα-β+1)-2}x+(mα-β+1)^2=0
の判別式は、4/D={(1-m)(mα-β+1)-2}^2-(1-m)^2(mα-β+1)^2=αm^2+(α+β-1)m+1　となりました。

回答No.5

debut

元の式は{(1-m)x+(mα-β)}^2-2{(1+m)x-(mα-β)}+1=0
なので、
(1-m)^2x^2+2(1-m)(mα-β)x+(mα-β)^2-2(1+m)x+2(mα-β)+1=0
から、xのつかない項は　(mα-β)^2+2(mα-β)+1じゃないですか？
だから、よくて
(1-m)^2x^2+2{(1-m)(mα-β+1)-2}x+(mα-β+1)^2=0
とできそうですが・・

お礼

ご回答ありがとうございます。
私の最初の展開式よりはずいぶんすっきりした形になりましたが、
やはりこれを判別式で計算するとなると…もう少し考えてみます。。

回答No.4

noname#101087

>［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1＝0

前途が不明のままでしたが、もとの式を整理したほうが早そう.... 。
　　［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1
　　= (1-m)^2*(x^2) + 2*{(1-m)(mα+β)-2(1+m)}*x + {(mα+β)^2+2mα-2β}

回答No.3

noname#101087

>(与式)=x^2-2(b+1)x+(b-1)^2にはなりませんか？

あ、勘定誤りです。仰せのとおりです。

-------------------------------------
　　(x-b)^2-2(x+b)+1 = x^2-2(b+1)x+(b-1)^2 = 0
判別式は、
　　(b+1)^2-(b-1)^2 = 4b
　　(与式) = x^2-2(b+1)x+(b-1)^2= [x-{b+1+2*sqrt(b)}]*[x-{b+1-2*sqrt(b)}]
--------------------------------------

確かに、元の表示へ戻すと「非常に複雑な形」になってしいまいそう。

回答No.2

noname#101087

>［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1 = 0 ....

m(x-α)+β= b とおいてみましょう。
　　(x-b)^2-2(x+b)+1 = x^2-2(b+1)x+(b+1)^2
判別式は、
　　(b+1)^2-(b+1)^2 = 0

#1 さんの結論に収束しそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
>(x-b)^2-2(x+b)+1 = x^2-2(b+1)x+(b+1)^2
に関してですが、(与式)=x^2-2(b+1)x+(b-1)^2にはなりませんか？

回答No.1

kuriboo

どういう問題のなのかわかりませんが・・・、

［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1
の式は
［x-{m(x-α)+β}+1]^2
と因数分解できます。

よって判別式を使わなくても、
もとの方程式は重解をもっている（m=1を除く）ということがわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。　　　　　　　　
{m(x-α)+β}=tとおいて［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x+{m(x-α)+β}］+1と、
［x-{m(x-α)+β}+1]^2の式をそれぞれ展開してみましたが一致しませんでした。
［x-{m(x-α)+β}+1]^2となるのは、［x-{m(x-α)+β}］^2-2［x-{m(x-α)+β}］+1のときではないですか？
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