★判別式って必要？不要？なのか教えてください。

質問

【問題】２次関数y＝x^2－４x－aのグラフがx軸と２点A、Bで交わるとき、これらのx座標を求めよ。またAB＝１となるように定数a値を求めよ。

この問題で、私は「２点A、Bで交わるとき」とあったから「判別式D≧０」としました。
だけど「解答集」には判別式のことなんか全然ふれていなくって、突然y＝０として階の公式からxを出していました。これって「判別式」のことはふれなくてもいいのですか。

（私の解答）
AとBの交点を調べるのに・・・
・「y＝０として判別式D≧０」としました。
・それからy＝０としてx＝～まで求めました。（この部分は解答集と同じでした）

次に、後半のAB＝１の解き方も「解答集」と同じで「a＝－15/4」になれたんだけど、私は最初に調べておいた判別式（D＝４^2－４×１×(－a)＝16＋4a≧０）から「a≧－４を満たす」と断り書きを添えました。（解答集にはそんなこと何も書いていませんでした）

もしも後半の質問がなくて、「x軸との交点」だけを求めさせる問題なら判別式はいらないってことでしょうか。それとも一応は触れておいた方が安全なのでしょうか。

回答No.4

alice_44

一般論として、判別式の符号確認(実数解の散在確認)は必要だけれど、
この問題の場合、AB=1 を解いた時点で、確認がなされているということ。
x^2-4x-a=0 が虚数解であれば、解公式から作った AB の値は虚数になる。
(A No.2 の後追い投稿にあたるかも知れん。そうだったら、申し訳ない。)

お礼

回答ありがとうございます。

aliceさんのお話しよく理解しました。

一般論として判別式が必要なら、解答の中にそれを触れていても大丈夫ですよね。

不安なので私はこれからも触れておきますね。

回答No.3

noname#152422

2番です。

蛇足ですが、「判別式」をおくびにもださずに「y＝０としてx＝～まで求めました」において

「～」の部分が２つの実数になるようなaが存在する

というように書くだけでもいいです。

単に「x＝～」だけだと、そのaを含む式が実数でないかもしれないから不十分ということ。

お礼

回答ありがとうございます。

qyueenさんのお話しよく理解しました。

ちょっと気になっているwのは、「２点」とあるときは「異なる２点」と考えてもいいのですね。

まだまだだなーって自分のあわてんぼの部分を直していきたいと思いました。

それと「判別式は不要」という意見もありましたが…やっぱり私はqyueenさんのお話しを読んで、先に判別式に触れておこうって思いました。

回答No.2

noname#152422

前半については判別式について触れる必要があります。

なぜなら、パラメータaを含む二次関数がx軸と交わるようなaが存在するかどうか、確認しないかぎり不明だからです。

例えば、（質問文の問題とは別の例として）xの二次方程式0=(x^2)+x+(a^2)+1の判別式は1^2-4×1×((a^2)+1)=-3-4a^2<0（すべての実数aについて）なので、二次関数y=(x^2)+x+(a^2)+1はどんな実数aに対しても絶対にx軸と交わりません。

問題文の二次関数が上の例のようにならずに、x軸と2点で交わるようなaが実際にありますよ、ということを示しておくことは必要です。そうでないとウソの仮定を元にしてしまうので意味がなくなりますから。

なお、問題文に「２点」とあるので、重解の場合を意味する「判別式≧0」ではなく、「判別式>0」とすべきです。

後半については、判別式に触れる必要はありません。今度はAB=1となるようなaが存在するかどうかを確認する必要があります。もし存在しなければウソの仮定を元にしてしまうので意味がなくなります。「a＝－15/4」なので実際にそんなaが存在することになります。

お礼

回答ありがとうございます。

qyueenさんのお話しよく理解しました。

ちょっと気になっているwのは、「２点」とあるときは「異なる２点」と考えてもいいのですね。

まだまだだなーって自分のあわてんぼの部分を直していきたいと思いました。

それと「判別式は不要」という意見もありましたが…やっぱり私はqyueenさんのお話しを読んで、先に判別式に触れておこうって思いました。

回答No.1

girlkeeper

Ａ，Ｂのｘ座標を求めろってことは、x^2－４x－a＝０　が実数解を持つ⇒Ｄ≧０　を同時に行なっていることになります。だから不要です。

うまい例えではないのですが、ＡＴＭでお金を引き出す（顔を求める）前に、残高照会をする（判別式を調べる）かどうかということです。
引き出せた（ｘ軸と交わった）ということは、残高があった（判別式≧０だった）ということなので、いちいち確かめる必要がありません。

どうしても確かめたかったら、してもいいけど、因数分解で解を求めない限り、解の公式の√の中に判別式が出てくるので、二度手間となります。

お礼

回答ありがとうございます。

girlkeeperさんのお話しよく理解しました。

問題で初めから「A、Bのx座標」とあるから、これって初めから「y＝０としたxの二次式で判別式D＞０ですよ」と言ってくれているのですね。