何でこのときに判別式が使えるのか？

質問

次の問題で、何でこのときに判別式が使えるのか？というのがまったくわかりません。

y=e^{-x^2}（富士山のような外形が書いてあります。）において、A(a,0)から２本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。という問題です。接点を適当にtなどであらわし、微分して、最終的に接線の方程式をtとxとyであらわし、そこにA(a,0)を代入します。ここまではわかります。

でも代入した式において判別式を使います。何でここで判別式が使えるのか、と疑問に思う理由は２つあります。(1)２次関数などとはまったく違う関数で、直線との共有点は３つになりえる(2)後は漠然と何でつかえるのかということですが、これはあえて言えば「なぜy,xであらわされていなく、しかもそこに自分でおいたtの値やaを代入したものなのに、判別式が使えるのか」ということです。tはなんかの関数だからでしょうか。まったくわかりません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>(1)２次関数などとはまったく違う関数で、直線との共有点は３つになりえる
まだ使っていない条件：接線が2本引けること、つまり、異なる接点のX座標tが２つ存在する。tについての2次方程式が出てくることが示唆されている。
実際
（2t^2-2at+1)e^(-t^2)=0
e^(-t^2)>0だから
2t^2-2at+1=0
接線が2本引ける→異なるtの2根が存在する→判別式>0

>(2)後は漠然と何でつかえるのかということですが、これはあえて言えば「なぜy,xであらわされていなく、
しかもそこに自分でおいたtの値やaを代入したものなのに、判別式が使えるのか」ということです。tはなんかの関数だからでしょうか。まったくわかりません。
判別式を使う方程式の変数は、xとは限りません。
これから多くの問題をこなしていくと、変数がa,k,t,p,qなどの存在条件として、それらの変数の2次方程式がどれだけでも出てきますよ。
実数kが存在する条件、2交点で交わる条件、2円に接する接線条件などすべてパラメータの2次方程式になった場合はすべて判別式を使います。
頭を柔軟に切り替えていかないと、多くの問題が解けませんよ。

逆に質問すれば
2次方程式の変数がなぜxやyでなくてはいけないですか？
最初に学ぶ時、理解しやすいように未知数と分かり易いxやyを変数にした
2次方程式やグラフを使って教えられただけです。
文字を使って式を取り扱うということは、その文字がxやyでなくても
変数になりうるということを絶えず頭の中にいれておくことが必要です。

接線が2本存在する条件から
D/4＝(a^2)-2>0
|a|>√2
が出てきます。

お礼

みなさん、どうもありがとうございました。問題は解決しました。

しかし
つまり、異なる接点のX座標tが２つ存在する。tについての2次方程式が出てくることが示唆されている。

とありますが、なぜこの場合に示唆されるのでしょうか。

回答No.2

kabaokaba

おちつきましょう
そして
＞そこにA(a,0)を代入します。ここまではわかります。
この式をよくみましょう．
e^{-t^2} が両辺にかかってませんか？
e^{-t^2}（これは0ではない）で割ったらどうなるでしょう．

>y=e^{-x^2}（富士山のような外形が書いてあります。）
富士山ですか，言い得てますね
統計でよく使われる正規分布と呼ばれる関数で，
実にいろいろなところに顔を出しますよ．

回答No.1

water-cooled

x,y,a,tなど文字にごまかされていはいけません、
臨機応変に自分が何をしようとしているのか意識して、変数とみたり定数とみたり。
何をしめせば何を示したことになるのかを念頭に。

aがきまれば接点tが決まるという関係式ができたわけだから。
ここでは接点としておいたtが2個の異なる解ををもてば、
すなわち2個の接点が存在するということです。
わかりにくかったら定数aを適当な数字だと考えてみると頭が整理されます。