クイズ番組での確率の問題です

質問

本日(6/13)のクイズ！ヘキサゴンIIで確率の問題が出たのですが、その答えの導き方が理解出来ませんでしたので、数学(算数)に詳しいかた教えて下さい。

<問題の要約>
・場面はプロ野球の試合
・１塁ランナーは阪神の赤星(２・３塁にランナー無し)
・キャッチャーは巨人の阿部で盗塁阻止率が４割１分
・さて、赤星選手の盗塁成功する確率は？
というものです。

番組の回答では、単純に100％－41％＝59％となってましたが、ここで疑問があります。

キャッチャーの盗塁阻止率とランナーの盗塁成功率は、上記式の関係が成り立つのでしょうか？
この式が成り立つ場合、世界一の俊足ランナーでも野球界で一番足が遅い人でも盗塁成功率が同じ59％になってしまいます。

『赤星対阿部の戦績で阻止率が41％』なら理解出来ますが、『阿部の阻止率は盗塁を試みた選手全員との戦績である』と考えると、回答の計算式が全く理解出来ません。

どうか宜しくお願い致します。

回答No.11

kts2371148 · ベストアンサー

議論が盛り上がっているようですね。
せっかくの数学カテゴリですから、数学的に検討してみましょう。
（といっても以下の説明はちょっと大雑把ですが）

まず、統計データが必要ですから、
http://npb-db.hp.infoseek.co.jp/index.shtml
を参照して調べてみました。

2004年度のプロ野球のデータで、
全選手の盗塁成功数 セリーグ 354 + パリーグ 424 = 778
全選手の盗塁失敗数 セリーグ 181 + パリーグ 222 = 403
赤星選手の盗塁成功数 64
赤星選手の盗塁失敗数 12
ですから、盗塁成功率は、全選手平均で 66% 、赤星選手で 84% です。
キャッチャーの盗塁阻止率は、残念ながら掲載されていないようです。
それで、盗塁阻止率は、全選手平均で 100% - 66% = 34% 、阿部選手で 41% とします。

さて、阿部選手 vs 赤星選手の場合にはどうでしょうか。
ランナーが１塁から２塁に到達する時間と
キャッチャーが２塁にボールを送球する時間を比較して、
ランナーの方が速ければ成功すると考えられます。
そこで、ランナーが１塁から２塁に到達する時間を u とおき、
全選手平均を r 、赤星選手の場合の平均を r1 とおきます。
キャッチャーが２塁にボールを送球する時間 v とおき、
全選手平均を s 、阿部選手の場合の平均を s2 とおきます。
すると、u ≦ v であれば、盗塁が成功すると考えられます。

さて、u - v は、平均 r - s 、標準偏差 σ の正規分布に従うと仮定します。
そこで、x = u - v とおきます。
なお、標準偏差は選手によって違うかもしれませんし、
ランナーとキャッチャーでは違うかもしれませんが、
ここではすべての選手で同じであるものとします。
正規分布については、
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normal.html （トップページ）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normdist/hyojunka.html （累積確率表）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normdist/hyojunhensa.html （図解）
または、
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/seiki/seiki.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83
などをご覧下さい。

もし r = s であれば、正規分布の曲線は y 軸を中心にした釣鐘型になり、
x = u - v ≦ 0 を満たすのはその半分ですから、盗塁成功率は 50% です。
しかし、実際には全選手平均で 66% ですから、
r - s < 0 となり、正規分布の曲線がいくらか左にずれて、
そのうち x ≦ 0 を満たす部分（y 軸の左側の部分）が盗塁成功率になります。
その値が 66% ということは、上記ホームページの累積確率表を参照すると、
正規分布曲線の中心は r - s = -0.41σ だけずれることになります。
同様に考えると、赤星選手の盗塁成功率は 84% ですから、r1 - s = -0.99σ となり、
阿部選手の盗塁不阻止率（盗塁を成功させてしまった割合）は
100% - 41% = 59% ですから、r - s2 = -0.23σ となります。
つまり、足の速い選手ほど、
正規分布曲線を左にずらして盗塁成功率を上げることができ、
送球の速いキャッチャーほど、
正規分布曲線を右にずらして盗塁成功率を下げることができます。

さて、阿部選手 vs 赤星選手の場合、
上記の検討により r - s , r1 - s , r - s2 が得られたので、
r1 - s2 = (r1 - s) + (r - s2) - (r - s) = -0.81σ となります。
ということは、この場合の盗塁成功率は 79% となります。

ということは、赤星選手の盗塁成功率 84% に対して、
阿部選手は平均より優れたキャッチャーなので盗塁成功率を減らすことができるものの、
結局は 84% を 79% にすることしかできない、ということになります。
＃１０さんの、
>> それに、赤星選手の盗塁って殆ど成功するんじゃなったかな・・・
>> だとすれば「暗黙の了解」の域を超えています。
>> 「暗黙の了解」にしたいなら、もっと平凡な選手をランナーにすべきです。
という指摘が当たっているようですね。

上記の方法で計算すると、
走者の盗塁成功率とキャッチャーの盗塁阻止率がわかっているとき、
走者とキャッチャーが対決した場合の盗塁成功率は以下のようになります。
（あくまで理論上の値ですが）

捕手の盗塁阻止率 ---　　 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

走者の盗塁成功率 40%　　 73% 65% 57% 50% 45% 39% 34% 30% 25%
走者の盗塁成功率 45%　　 77% 69% 62% 56% 50% 44% 39% 34% 30%
走者の盗塁成功率 50%　　 81% 73% 67% 60% 55% 49% 44% 39% 34%
走者の盗塁成功率 55%　　 84% 77% 71% 65% 60% 54% 49% 44% 39%
走者の盗塁成功率 60%　　 87% 81% 75% 70% 64% 59% 54% 49% 44%
走者の盗塁成功率 65%　　 90% 84% 79% 74% 69% 64% 59% 54% 49%
走者の盗塁成功率 70%　　 92% 88% 83% 79% 74% 69% 64% 60% 55%
走者の盗塁成功率 75%　　 94% 90% 87% 83% 79% 74% 70% 65% 60%
走者の盗塁成功率 80%　　 96% 93% 90% 87% 83% 79% 75% 71% 67%
走者の盗塁成功率 85%　　 97% 95% 93% 90% 88% 84% 81% 77% 73%
走者の盗塁成功率 90%　　 98% 97% 96% 94% 92% 90% 87% 84% 81%
走者の盗塁成功率 95%　　 99% 99% 98% 97% 96% 95% 93% 91% 89%

盗塁成功率については、参考までに
http://www.s-move.jp/sportswriter/item_10960.html
もリンクを張っておきます。

お礼

有り難う御座います。
『スゴイ』としか言えません。

大雑把とは書かれてますが、阿部選手対赤星選手の場合は成功率が79％という具体的な数値まで出てしまうんですね。

回答No.10

banakona

私は「出題の不備」に１票。

確率の問題で、サイコロなら「どの目が出る確率も同じ」、カードを引くなら「無作為に引く」等の文言は必要です。私が受験生なら試験官に「カードは無作為に引くんですか」等と尋ねます。

それに、赤星選手の盗塁って殆ど成功するんじゃなったかな・・・
だとすれば「暗黙の了解」の域を超えています。「暗黙の了解」にしたいなら、もっと平凡な選手をランナーにすべきです。

実は私もこの番組を見ていたのですが、答案を書く前にわざわざ質問を受け付ける時間がとられていました。ここで「ランナーが誰であっても盗塁阻止率は一定と仮定していいですか」などと質問すべきでした。

お礼

有り難う御座います。

ほんと、小学生に出す問題であって、大人に出す問題ではないですね。
高校受験→大学受験→就職試験→就職後の顧客との契約と段々と一つの結果の重みが増してくるので、それを経験している人は条件を重視しますよね。
暗黙の了解も学校レベルの範囲内かと思います。

回答No.9

yamyam_ooo

問題は、「１塁ランナーが盗塁成功となる確率は何％か」ですね。
盗塁成功率については、過去の成績から計算するしかありません。

しかし、今回の問題は「盗塁成功となる確率」で、盗塁成功率を計算するものではないようです。「“今回の盗塁”が成功する確率」と「赤星選手の盗塁成功率」は別なのです。

「盗塁成功となる確率」と「盗塁成功率」が似ていて、わかりにくい問題ですが、もしかするとわざと引っかけているのかもしれません。

お礼

有り難う御座います。

この『言葉の定義』に関しては理解しております。
No.11さんの回答を引用させて戴きますと、
盗塁成功率：84％
今回盗塁が成功する確率：79％
ということになると思います。

回答No.8

Ishiwara

テレビが正しいと思います。
数学では「暗黙の了解」というものがあります。ここでは赤星という人がどれくらい速いのかが示されていません。したがって「プロ野球選手としての平均の速さ」とするのが「暗黙の了解」です。（＃５さんと同じ意味です。）

お礼

有り難う御座います。

数学という学問には暗黙の了解ってあるんですね。
今回の場合、視聴者は数学という学問の世界でなく、様々な経験・立場・価値観を持って様々な世界で生きているというところが盲点でしょうか。

私が小学生時代にこの問題を解いていたら、あっさりと100%－41%＝59％という答えになったかと思います。

回答No.7

komimasaH

ハハハ。
こんな番組に違和感もへったくれもありません。
作っている連中の知能指数を考えれば分かるでしょ？
まじめに考えるだけ時間の無駄。

回答No.6

tenntennsevengoo

NO.5さんの回答で異議なし。

回答No.5

abcdsfg

例えば、
地点Aから自動車で走り始めました。はじめ４０分間　時速４０ｋｍで走行し、その後６０分間　時速１００ｋｍで走行しました。地点Aから合計何ｋｍ走行したでしょうか？

という問題で、
「40km/hから100km/hに瞬時に加速できる自動車なんて存在しないじゃないか」
と言っているのと同等だと思います。
算数の問題で、与条件がなければ、そうであると仮定する・・のが暗黙の了解ってやつだと思います。

そういうのを世間では、屁理屈っていうんです。

お礼

ご意見有り難う御座います。
それなので、数学(算数)に詳しいかたお願いしますと書かせて戴いてます。

就職して、契約の世界にハマってしまうと、ちょっとした記載漏れ(条件指定漏れ)から裁判に発展しますので、いわゆる職業病かもしれません。

回答No.4

ko-bar-ber

私も同様に感じました。
番組の解答が間違っていますね。
「走ってみなきゃ分からない」と答えた解答者の答えが正しいです。

お礼

有り難う御座います。

知人にこの問題を出してみましたが、赤星と阿部の体調だとか色々と質問されてしまいました。
その中で、赤星対阿部の戦績が分からないので、結局は走ってみないと分からないという回答も…

やはり理系が集まっている会社では、通用しない問題のようです。

回答No.3

sanori

はい。
盗塁阻止率の定義は、あなたがおっしゃるとおりですし、
盗塁成功率はランナーが誰であるかということに従属、
すなわち、ランナーが誰であるかによって変わるものですね。
これについても、あなたのおっしゃるとおりです。

・１塁ランナーは阪神の赤星(２・３塁にランナー無し)
ではなく
・１塁ランナーは、どっかのチームの誰か(２・３塁にランナー無し)
だったらよいですね。

お礼

有り難う御座います。

お答え戴いたように、１塁ランナーの名前を出さなければ素直に理解出来ますね。
小学生の問題の時には、多分選手名を記載していないのでしょうね。
それをテレビ用に脚色したのがあだになりましたか。

回答No.2

tky-ny

私も同様の違和感を覚えました。

でも、数学苦手なので、例えば赤星選手の成功率が60%だった場合、
どういう計算をすればいいのかわからないんですよね。

簡単に考えると、成功か失敗かの2通りしかないので常に5割のような気がするのですが・・・これはきっと間違いですね。

回答No.1

kikeba

全く同感です。
その疑問のとおりで番組の方がおかしいです。

お礼

有り難う御座います。

テレビというのは情報伝達が一方通行ですので、こちら側の疑問を伝えられないのが残念ですね。