偏微分について急いで知りたいことがあります

質問

z=g(r,Θ)=f(x,y)とするとき、次の２式がなぜ成り立つのか教えてください。

・(∂/∂r)(∂z/∂x)=(∂/∂x)(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂/∂y)(∂z/∂x) (∂y/∂r)

・(∂/∂r)(∂z/∂y)=(∂/∂x)(∂z/∂y)(∂x/∂r)+(∂/∂y)(∂z/∂y)(∂y/∂r)

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

[訂正]
No.1の記述の最後
＞第1式はこれに ∂z/∂x を掛けただけ.
＞第2式はこれに ∂z/∂y を掛けただけ.
は誤りで, ∂/∂r などはすぐ右にある関数をrで微分するという意味ですから,

微分演算子
・(∂/∂r)=(∂x/∂r)(∂/∂x)+(∂y/∂r)(∂/∂y)
を,
∂z/∂xに作用させると
(∂/∂r)(∂z/∂x)=(∂x/∂r){(∂/∂x)(∂z/∂x)}+(∂y/∂r){(∂/∂y)(∂z/∂x)}
で,
∂z/∂yに作用させると
・(∂/∂r)(∂z/∂y)=(∂x/∂r){(∂/∂x)(∂z/∂y)}+(∂y/∂r){(∂/∂y)(∂z/∂y)}
という言い方にすべきでした. 訂正します.
中括弧{}は強調のためで，また誤解が生じないように因子を並べ替えて掛け算を書いていますが，普通は問題文にあるように平気で書くので，見慣れておいてください．

お礼

微分演算子を知りませんでした。ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

と思ったのですが, 前後関係が分かっていないので, 問題の式のおかしい解釈をしていたら補足ください.

回答No.1

oshiete_goo

いわゆる連鎖律でしょう.
z=g(y1,y2)=f(x1,x2)
とすると, i=1,2に対し
・(∂/∂yi)=(∂x1/∂yi)(∂/∂x1)+(∂x2/∂yi)(∂/∂x2)
より, z=g(r,Θ)=f(x,y)とするとき
・(∂/∂r)=(∂x/∂r)(∂/∂x)+(∂y/∂r)(∂/∂y)

分かりにくければ
任意の関数z=g=fを考えて
・(∂/∂r)z=(∂x/∂r){(∂/∂x)z}+(∂y/∂r){(∂/∂y)z}
=(∂x/∂r)(∂z/∂x)+(∂y/∂r)(∂z/∂y)
とやればよいでしょう.

第1式はこれに ∂z/∂x を掛けただけ.
第2式はこれに ∂z/∂y を掛けただけ.