ナッシュ均衡について

質問

初心者なので、こんな問題でも手こずっています。
どなたか、わかりやすく教えてくださればうれしいです。

既存会社と新規参入会社が、同じマーケットで競合している。
（１）新規参入会社がマーケットに参入する設備投資は２５億。
（２）既存会社と新規会社が相手先に同時に見積もるとして
もし既存会社と新規会社が商品を同じ価格で見積もると、相手先はネームバリューのある既存会社の商品を選ぶ。すなわち新規会社の25億は無駄になる。
（３）もし両社が同時に高い価格を見積もると、既存会社の利益は300億である。
（４）もし両社が同時に低価格で見積もると、既存会社の利益は100億。
（５）もし、既存会社が高価格で、新規会社が低価格であると、新規会社の利益が100億、既存会社の利益は0である。

これをナッシュ均衡に当てはめて考えなさい。という問題があるとき、

　　　　　　　　　　　　　　　　既存会社K
　　　　　　　　　　　　 高価格　　　　低価格
新規会社S　　　高価格　K:300 S:0? K:0 S:100

　　　　　　　 低価格 K:0? S:-25 K:100 S:0

表に当てはめると、このようになるのでしょうか？
その場合、条件に明記されていない方の利益は０でいいのでしょうか？

また300×ｑ＋100×（1－ｑ）＝100＋200ｑ
ですが、もう一つの式を見つけられません。

この問題の考え方のプロセスが上記であっているなら、その先をどうかんがえればいいか。
また間違っているなら、この問題にどう答えるのがいいのか、
教えてください。

回答No.3

at9_am · ベストアンサー

＃１です。＃２は間違いです。お恥ずかしい・・・。

正しくは次のようになります。

既存企業が、新規企業が確率 q で高価格戦略を採ると予想したとき、新規企業が確率 p で高価格戦略を採ったとした下での期待利得は
300p - 100(1-p)
です。

お礼

回答どうもありがとうございました。
何とか、わからないなりに頑張りました。
結果は…？ですが。

補足

いつも、丁寧にお返事くださって、ありがとうございます。
at9_amさんのアドバイスと、他の文献も参考にして、下記のように考えてみました。

　 　　新規　高価格　　　　低価格
既存　　　　　　　
高価格　　　300,-25 　　 100,-25
低価格 　　　0, 75 　 　　 100,-25

新規企業が確率qで高価格を、確率1-qで低価格を取る時の既存企業の高価格路線の期待利得は、
300q+100（1-q）＝200q+100
低価格路線の期待利得は、0q+100（1-q）＝-100q+100
となり、これを解くと、q＝0になってしまいました…。
同じく、既存企業が確率pで高価格を、確率1-pで低価格を取る時の新規企業の高価格路線の期待利得は、
-25p-75（1-p）＝-100p+75
低価格路線の期待利得は、-25p-25（1-p）＝-25
となり、これを解くと、p＝1となります。

これは、新規企業が高価格路線をとる確率は0ということですか？
そして、既存企業が高価格を取るのが１で、100％？
すると、新規企業は低価格・既存企業が高価格の時がナッシュ均衡
になるのですか？

本の例題のように、方程式の数字がなんだかしっくり来ないので、
これも、間違いのような気がしますが。
何回も考えているのですが、「既存企業が何分の何の確率で、高価格を選ぶ」というように、4箇所の確率で、
スパッとした数字が出なくて、もうお手上げです。
どうぞ、考え方と共に、正確な答えを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

at9_am

＃１です。補足します。といっても全部式まで立ててしまうとルール違反なので立て方だけです。

> この連立方程式は、どのように立てればいいのですか？

今、既存企業 K の立場に立って高価格戦略を採るとき、新規企業 S が高価格戦略を採れば 300 の儲け、低価格戦略を採れば 0 の儲けが出ます。したがって、新規企業が確率 q で高価格戦略を採るとすれば期待利潤は
300 q + 0 (1-q)
になります。

他の場合も同様になります。

補足

すいません、間違えました。
最新の回答に補足ができないため、ここに書かせていただきます。

　 　　新規　高価格　　　　低価格
既存　　　　　　　
高価格　　　300,-25 　　 　　0,75
低価格 　　100,-25 　 　　 100,-25　でした。

既存企業の高価格路線の期待利得は、
300q+0（1-q）＝300q+0
低価格路線の期待利得は、100q+100（1-q）＝100
となり、これを解くと、q＝1/3
同じく、既存企業が確率pで高価格を、確率1-pで低価格を取る時の新規企業の高価格路線の期待利得は、
-25p-25（1-p）＝-25
低価格路線の期待利得は、75p-25（1-p）＝100p-25
となり、これを解くと、p＝0となりました。

これは、新規企業が高価格路線をとる確率は1/3で、
p＝0なら、既存企業が高価格を取る確率は0なのでしょうか？
考えれば考えるほど、こんがらがって、
何がなんだかわからなくなってきました。
アホですいません・・・。

回答No.1

at9_am

> 表に当てはめると、このようになるのでしょうか？

違いますね。
条件（２）から (K, S)=(高, 低) 以外の戦略を採った場合を除いては既存会社のみが売り上げがあり、既存会社が低価格路線を取った場合は相手の手に関わらず自社製品だけが市場で販売されるので、需要が特に変化しないので販売量も利益も同じになります。
また新規会社は利益から参入コスト分だけを引かなければなりません。

　　　　 K
　　　高　　　　　低
S 高 (300, -25)　(100, -25)
　低 (0, 75)　　 (100, -25)

になります。

> 300×ｑ＋100×（1－ｑ）＝100＋200ｑ

この等式は、式変形だけなので意味をなさないですね。

この問題の解答は、

・既存会社 K が確率 P で高価格を、(1-P) で低価格を選択するという条件の下で新規会社 S がどちらの手を取ったとしても期待利得が等しい、という方程式を作る。
・新規会社 S が確率 Q で高価格を、(1-Q) で低価格を選択するという条件の下で既存会社 K がどちらの手を取ったとしても期待利得が等しい、という方程式を作る。
・両者を連立させて解く

という方法で混合戦略ナッシュ均衡を得ることが出来ます。

補足

at9_amさん、早速の回答どうもありがとうございます。
私は主婦なのですが、地域の公開ビジネス講座で上記の例題が出て、
気軽な気持ちで参加したのですが、経済学などチンプンカンプンで、
四苦八苦しています。

いただいた下記のアドバイスですが、
・既存会社 K が確率 P で高価格を、(1-P) で低価格を選択するという条件の下で新規会社 S がどちらの手を取ったとしても期待利得が等しい、という方程式を作る。
・新規会社 S が確率 Q で高価格を、(1-Q) で低価格を選択するという条件の下で既存会社 K がどちらの手を取ったとしても期待利得が等しい、という方程式を作る。
この連立方程式は、どのように立てればいいのですか？
どうぞよろしくお願いします。