クールノー・ナッシュ均衡について

質問

同一の財を生産している二つの企業を考える。この財の価格は市場全体の供給量に応じてP=１００－Q（P価格Q生産量）と決定されるという。両企業ともこの財1単位の生産には５の費用が掛かるものとする。

と同じ設定の下で
（２）企業１の費用関数C(ｑ)＝５ｑ、企業２の費用関数C(ｑ)＝ｑ＾２の時のクールノー・ナッシュ均衡を求めよ。という問題なのですが、解答のｑ１＝４０、ｑ２＝１５という答えに辿り着けません・・。

ちなみにこれより前の問いで、↑の設定の状態での企業１，２の利潤や最適反応関数、均衡における生産量を求める問題は分かりました。（１）【利潤（１００－（ｑ１+ｑ２）－５）ｑ１、（１００－（ｑ１+ｑ２）－５）ｑ２最適反応関数ｑ１＝９５－ｑ２／２、ｑ２＝９５－ｑ１／２、均衡生産量ｑ１＝ｑ２＝９５／３】

また、重ねて質問になってしまうのですが、（１）では利潤を求める際「P－C（費用）×生産量」で求めました。なので（１）（２）とは条件は同じのまた別の問いで『両企業の費用関数はC（ｑ）＝ｑ＾２とする』とあったとき、（１００－（ｑ１+ｑ２）－ｑ１＾２）ｑ１かと思ったのですが解答を見たところ
（１００－（ｑ１+ｑ２））ｑ１ーｑ１＾２となっていました。これは何故こうなったのでしょうか？

質問が2つになってしまいややこしくてすいません＞＜
お時間のある方どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

回答１で十分説明したと思うけれど、あなたの質問で気になるのは

＞（１）では利潤を求める際「P－C（費用）×生産量」で求めました。

とある部分です。（１）では、C(q)=5qなら、企業の利潤は収入Pqマイナス費用C(q)ですから、

　Pq - C(q) = pq -5q = (p - 5)q = (p - 5)×生産量 = (価格 - 単位費用）×生産量

となる。5は生産１単位あたりの費用（単位費用）で、総費用は5qです。(2)ではC(q) = q^2ですから、単位費用を使って表したいのなら

　　Pq - C(q) = pq - q^2 = (p - q)q

とする。この場合の生産１単位あたりの費用＝C(q)/q = q^2 /q = q　だからです。

さらに質問があるのなら、「補足質問」欄を使って質問してください。

回答No.4

statecollege

回答3を書いて、１夜経ちましたが、わかったという返信がありませんね！もう一度復習すると、企業１と２の最適反応関数は

(1) x = (95 - y)/2
(2) y = (100 - x)/4

と導かれることはよろしいんですか？ただし、xとは q1, yとは q2のことです（このほうがわかりやすいかと思い、このように書き換えました）。できたら、この2つの１次関数をｘｙ平面に描いてみることをお薦めします。まず、企業2の最適反応関数(2)は、y切片が25,傾きが-1/4の右下がりの直線です。企業１の最適反応関数(1)は、これをyについて解くと、

y = 95 -2x

となるので、y切片が95、傾きが-2の右下がりの直線であることがわかる。この2つの直線の交点の座標(40,15)がクールノー・ナッシュ均衡を表わしている。この座標(40,15)を求めるためには、連立１次方程式(1),(2)をxとyについて解けばよい。(2)を(1)に代入すると、

x = [95 - (100 - x)/4]/2

x = 95/2 - 100/8 + x/8

x - x/8 = (95 - 25)/2

(7/8)x = 70/2

よって
x = (70/2)×(8/7) = 40

となる。これを(2)に代入すると、

y = (100 - 40)/4 = 60/4 = 15

を得る。よって、 (x,y) = (40,15)が(1)と(2)の解である。

これでもわかりませんか？この説明を読んでわからないことがあったら質問してください。

お礼

すいません。ちょっと勘違いをしていたみたいです;理解しました、丁寧な解説をしていただいてありがとうございます。
また、こちらはパソコンから投稿しておりまして生活のタイミングなどからいつも見れるわけではないので、反応が遅れることがあります。なるべく3日以内に反応できるようにはしているつもりですが、すぐにはできないことが多いです。すみません。

回答No.3

statecollege

＞q1= (95 - q2)/2とq2 = (100 - q1)/4を解くということなのですが、(95 - q2)/2= (100 - q1)/4として例えばq1＝2q2－90として、それからq2 = (100 - q1)/4に代入してq2 = (100 - （2q2－90))/4にしてから計算したのですが、これだとq1＝20、q2＝55となってしまい、解答のq1＝40、q2＝15と合わないのですが・・・これは私のミスでしょうか？もしくは解答に間違いがあるということでしょうか？何度もすいません。

あなたの計算ミスです。
q1 = 40, q2 =15が導かれた最適反応関数を満たすかどうか調べたらどうです？
第１式にこれらを代入すれば、
　　　40 = (95-15)/2
あるいは第２式に代入すれば
　　　15 = (100-40)/4
となり満たしているではないか！！ということは、最適反応関数が正しいということだ。あなたの計算のどこが間違いかというと

　　(95-q2)/2 = (100-q1)/4

なる等式がどうして成り立つんですか？？？この式の左辺は第１式の右辺で、右辺は第２式の右辺だ！つまり、あなたは
　　 q1 = q2
と仮定し解いていることになる！（これではどうやっても正しい答えは出てこない！）

q1,q2が目障りだったら、q1=x, q2=yとおいて、第１式と第２式を

　　x = (95 - y)/2
y = 25 - x/4

と書き換えて、xとyについての連立一次方程式を解いてみたらどうか？解き方は中学で習ったように、第2式を第１式に代入し、yを消去し、xだけの方程式にしてxの解を求め、求めたらその解を第２式に代入すればよい。そうすれば、
x=40、y=15が直ちに求まります。

回答No.1

statecollege

機械的に計算するのではなく、意味を考えなさい！利潤とはあくまでも収入マイナス費用です。したがって
企業１の利潤Π１は

Π１=Pq1 - C(q1)= Pq1 - 5q1 = (P - 5)q1 =(100 - Q - 5)q1
=(95 - q1- q2)q1= -q1^2 + (95-q2)q1

となるし、企業２の利潤Π２は

Π２ = pq2 - C(q2) = Pq2 - q2^2 = (100 - Q) q2 - q2^2
= (100 - q1 - q2)q2 - q2^2= -2q2^2 + (100- q1)q2

となる。企業１と２の最適反応関数を導くためには、∂Π１/∂q1 = 0 と∂Π2/∂q2=0を計算すればよい。

0 = ∂Π１/∂q1 = -2q1 + (95 - q2) ⇒　q1= (95 - q2)/2

0 = ∂Π2/∂q2 = -4q2 + (100 - q1) ⇒　q2 = (100 - q1)/4

が企業１と２の最適反応関数であり、これらをq1とq2について解けば、クールノーナッシュ均衡が得られる。

補足

すいません・・。q1= (95 - q2)/2とq2 = (100 - q1)/4を解くということなのですが、(95 - q2)/2= (100 - q1)/4として例えばq1＝2q2－90として、それからq2 = (100 - q1)/4に代入してq2 = (100 - （2q2－90))/4にしてから計算したのですが、これだとq1＝20、q2＝55となってしまい、解答のq1＝40、q2＝15と合わないのですが・・・これは私のミスでしょうか？もしくは解答に間違いがあるということでしょうか？何度もすいません。