ナッシュ均衡についてです。

質問

公共経済の問題で、
個人1の効用u1(x,y)=x(10+y1)
個人2の効用u2=(x,y)=x(1+y2)
Xは公共財、yは私的財の消費量
1の所得は14で2の所得は10とする。公共財1単位生産するのに3単位の私的財が必要。このときの自発的供給したナッシュ均衡における公共財の量を求めたいです。
解法詳しくお願いします！

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

この問題難しいですよ。クーン・タッカー条件を使う必要があるからです。この質問で「所得」とは私的財で測った初期保有量だとします。X1を個人１の公共財寄与量、X２を個人２のそれとする。すると、個人１と２の私的財の消費はそれぞれY1=14-3X1, Y2=10-3X2となるから、個人１と２の効用はそれぞれ
u1 = (X1+X2)(10+(14-3X1)＝(X1+X2)(24-3X1)
u2 =(X1+X2)(1+10-3X2)=(X1+X2)(11-3X1)
である。最大化条件（クーン・タッカー条件）はそれぞれ
0≧∂u1/∂X1＝24 - 6X1 - 3X2 X1>0ならば等号が成立　　　　　(*)
0≧∂u2/∂X2 = 11- 3X1 - 6X2 X2>0ならば等号が成立　　　　　(**)
で与えられる。
いま、X1>0,X2>0と仮定してみる。すると(*)と(**)は等式が成立するから、
X1 = 4 - (1/2)X2
X2= 11/6 - (1/2)X3
この連立方程式を解くと
X1=37/9, X2 =-4/3
となり、矛盾（なぜ？）
よって、X1>0,X2=0と仮定すると、(*)より
X1=4
(**)にX1=4,X2=0を代入すると、
11-12≦０
となり、(**)を満たすので、（X1,X2)=(4,0)は解である。
最後に、X1=0, X2>0が成り立たないことを確かめておこう。このとき、(**)は等号で成立するから、(**)より
X2 = 11/6
を得るがこれを、(*)に代入すると
24 -6×(11/6)≦０
となり、矛盾。よって、このケースは成り立たない。よってナッシュ均衡解は
（X1,X2)=(4,0)
であり、この経済の自発供給された公共財供給量は
X=X1+X2 =4+0 =4
ということになる。

回答No.3

statecollege

No2のクーンタッカ・タッカー条件のところ、X2とX1（つぎの行のX2とX2）とがくっついているので、それらを離して書き直したのですが、書いた後の「確認する」のところまで離れていたのに、「回答」では、やはりくっついてあらわれていますね！この「OKWAVE」の回答欄の欠陥でどうしようもないので、そこを注意して私の「回答」を読んでください。

回答No.2

statecollege

回答No1についての注記です。No１で
>「最大化条件（クーン・タッカー条件）はそれぞれ
0≧∂u1/∂X1＝24 - 6X1 - 3X2 X1>0ならば等号が成立　　　　　(*)
0≧∂u2/∂X2 = 11- 3X1 - 6X2 X2>0ならば等号が成立　　　　　(**)
で与えられる。」
のとこらは、X2とX1の間がくっついて、見にくいですが、
「最大化条件（クーン・タッカー条件）はそれぞれ
0≧∂u1/∂X1＝24 - 6X1 - 3X2 X1>0ならば等号が成立　　　　　(*)
0≧∂u2/∂X2 = 11- 3X1 - 6X2 X2>0ならば等号が成立　　　　　(**)
で与えられる。」
の意味です。
各個人は相手の公共財寄与量を所与として、自分の公共財の寄与について自分の効用を最大化する値を選んでいるので、(*)と(**)は各個人の最適反応関数だ。(*)tと(**)を解けば、ナッシュ均衡が得られる。単に偏微分をゼロとする公共財供給量を見つけるのでは駄目なのは、この場合X1=０あるいはX2=0の端点解の可能性を気にしないといけないからだ。実際、この問題場合、内点解（X1>０かつX2>０）ではなく端点解が(*)と(**)を満たしていることがわかる。クーン・タッカー条件とはそうした端点解をも考慮した最大化問題の1階の条件のことで、院レベルの経済学では必修だが学部レベルではあまり教えられていないのではないでしょうか？

お礼

遅くなりすみません！回答ありがとうございました。確かに教えられてません…図を書けば分かると言われました…