xy平面上の曲線

質問

タイトルの通りの通りなんですが
（１）接線がすべて原点を通る
（２）法線がつべての原点を通る。
などの問題なのですが求め方がよくわかりません＞＜
（２）は円の(x^2+y^2=c)方程式になる気はするのですが求め方が・・・微分とかをつかうのでしょうか？
ちなみに（１）の答えはy'=y/x,y=cx（cは定数だと思われ）
（２）はy'=-x/y,x^2+y^2=cでした。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)接線の方程式
接点を(x0,y0=f(x0))とおけば
y=f(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
接点の如何に関らず原点を通る条件
任意のx0について次式が成立する
0=f(0)=-x0f'(x0)+f(x0)
x0→x, y=f(x0)→y=f(x),f'(x0)→f'(x)=y'で置き換えると
y'/y=1/x
ln(y)=ln(x)+ln(c)=ln(c*x)
y=cx
これが接点が満たす曲線の方程式となります。

(2)法線の方程式
y=f(x)=-(x-x0)/f'(x0)+f(x0)
接点の如何に関らず原点を通る条件
任意のx0について次式が成立する
0=f(0)=x0/f'(x0)+f(x0)
x0→x, y=f(x0)→y=f(x),f'(x0)→f'(x)=y'で置き換えると
x/y'+y=0
yy'=-x
(1/2)y^2=-(1/2)(x^2)+(C/2)
y^2=-x^2+C
x^2+y^2=C＞0
C＝r^2＞0とおけば
x^2+y^2=r^2　(r＞0)

お礼

回答ありがとうございました＾＾

回答No.2

31415926

微分方程式の問題だと思います．

(1)
まず，一般に曲線y=y(x)の点(x0,y0)での接線の傾きはy'(x0)です．
一方，(1)の条件から(x0,y0)での接線は(0,0)と(x0,y0)を通るはず
ですから，接線の傾きはy0/x0となるはずです．よって
y'(x0)=y0/x0
が全ての曲線上の点(x0,y0)に対して成り立ちます．よって
y'=y/x
という微分方程式を解けば曲線の式y(x)が求まります．
これの解き方はy'/y=1/xとして，両辺を積分して計算すれば出ます．
(ここは省略)

(2)
今度は法線の傾きがy0/x0となるので，接線の傾きは-x0/y0.従って
y'(x0)=-x0/y0
となります．よって
y'=-x/y
という微分方程式を解くことになります．これは
yy'=-xとして，両辺を積分して計算すればでます．
(これも省略します)

お礼

回答ありがとうございました＾＾
たしか変数分離型みたいなことをならったのでそれで解けました！