<複素数の解法>z=i^1/3

質問

はじめまして。
現在数学の複素数の課題に取り組んでおります。
解答は分かっているのですが、途中式の計算方法が分かりません。。
どなたか教えていただけませんでしょうか。
下記に問題と解答を記載いたします。

問題：Z=i^1/3の取りうる値をすべて求めなさい。
解答：(√3)/2+1/2i、-(√3)/2+1/2i、-i

オイラーの公式を使うのではないかと思い試していますが、
行き詰ってしまいました。
どうかよろしくお願いします。

回答No.5

kabaokaba

素直に z^3 = i をとくのです．
三次方程式だから（重解を含めて）三つ解があるのはよいですね．

せっかく，オイラーの公式まで出てきてるので
それも使いましょう．ラジアンではなく，度数で書きます．
z= r (cosθ + i sinθ) r>0
とすると
z^3 = r^3 (cos(3θ) + i sin(3θ))
で，これが
i= cos(90) + i sin(90)
と一致すればよいので
r=1
3θ=90+360n (nは正数)
したがって，r=1，θ=30+120n (nは正数)
よって，z=cos(30+120n) + i sin(30+120n)
解は三つであることと
三角関数の周期性より，n=-1，0，1のときだけで
異なるので，これですべてを表しています．
n=-1 のとき， z = -i
n= 0 のとき， z=(√3)/2+1/2i
n= 1 のとき， z=-(√3)/2+1/2i

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
度数で説明していただけたので　角度との関係性をイメージしやすく、
図を書きながら　しっかりと理解できたように思います。

ありがとうございました！

回答No.4

rabbit_cat

z,wが複素数のとき、
z^w = exp(w*log(z))
ていうのが複素数での指数関数の定義です。
ちなみに、
log(z) = log|z| + i*(Arg(z)+2nπ)
ですね。

お礼

説明ありがとうございます。
logを使うとそのように表す事も出来るのですね。
すっかり忘れてしまっていました。。。
今度はすぐにこの式を思い出し、とけるようにしたいと思います。
ありがとうございました！

回答No.3

info22

z=i^(1/3)

i=e^(iπ/2)
=e^[i{(π/2)+2nπ}]
一般的には i(2nπ)があることを忘れてはいけない。

z=e^[i{(π/2)+2nπ}/3]=e^[i{(π/6)+(2nπ/3)}

n=3mのとき
zo=e^[i{(π/6)+2mπ}]=e^(iπ/6)=cos(π/6)+i*sin(π/6)=(√3/2)+(1/2)i

n=3m+1のとき
z1=e^i{(π/6)+(2π/3)+2mπ}=e^(i5π/6)
=cos(5π/6)+i*sin(5π/6)=-(√3/2)+(1/2)i

n=3m+2のとき
z2=e^i{(π/6)+(4π/3)+2mπ}=e^{i(9π/6)}=e{i(3π/2)}
=cos(3π/2)+i*sin(3π/2)=0+(-1)i
=-i

お礼

お礼のつもりで補足に書き込んでしまいました。。。すみません。

質問を締め切った後には質問への補足が出来ない事を知らずに質問を締め切ってしまったので、
この場を借りて今回ポイントを選ばなかった理由をお知らせしたいと思います。

私の数学の知識や理解力が足りず、全ての方々の説明を組み合わせながら少しずつ理解していきました。
どの説明も大変参考になり、1位2位を決める事ができなかったため、選択しない結論を出してしまいました。
折角説明していただいたのに、残念な気持ちにさせてしまったとしたらすみません。
感謝しています。ありがとうございました。

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
場合分けでそれぞれの途中式を書いていただけたので、計算の流れをしっかり理解する事が出来ました。
2nπは計算の途中で消してしまってよいのですね。
2nπの扱いに悩んでいたので、疑問を解消できました。
ありがとうございました！

回答No.2

kkkk2222

＃１です。

訂正

×　　三乗根の主値は３個
○　　三乗根の偏角の主値は３個
(π/２）／３、(５π/２）／３、(９π/２）／３

回答No.1

kkkk2222

(π/２）、(５π/２）、(９π/２）

i=Ｅ^(π/２）i

Ｚ＾３＝Ｅ^(π/2）i

この三乗根の主値は３個

Ｚ１
＝Ｅ^(π/６）i
＝ＣＯＳ(π/６）＋iＳＩＮ(π/６）
＝（√３／２）＋i（１／２）
Ｚ２
＝Ｅ^(５π/６）i
＝ＣＯＳ(５π/６）＋iＳＩＮ(５π/６）
＝（ー√３／２）＋i（１／２）
Ｚ３
＝Ｅ^(９π/６）i
＝ーi

お礼

素早い説明ありがとうございます。
i=Ｅ^(π/2）i＝Z＾3　だったのですね。
Z＝Ｅ^(π/2）i＝i＾1/3　だと勘違いして計算を進めていたので
変な事になってしまっていたようです。

訂正もきちんと伝えていただき、助かりました。
勝手ではありますが、No.1、No.2併せてのお礼とさせていただきたいと思います。
ありがとうございました！