極限における三角関数の式変形

質問

x→0のとき、1-cosx≒x^2/2である。こういう奥の手に気がつけば。。。といったことが書いてあります。この式自体は両辺が0になるので理解できます。しかしこれは何か導き方があるのでしょうか。もしそうでないならば、適当な式変形をして（1-cosx≒x^8/2などでも）すべて極限の問題は解決してしまいますよね。

教えてください。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞x→0のとき、1-cosx≒x^2/2である。
これは禁じ手です。
＞＞この式自体は両辺が0になるので理解できます。
ＥＲＲＯＲです。
両辺が0になっても説明にはなりません。
禁じ手のロピタルで考えます。
（1-cosx）/(x^2/2)→sinx/x→1

高校の範囲でやります。
（1-cosx）/(x^2/2)
=2(((sin(x/2))^2))/(x^2/2)
=(((sin(x/2))^2))/((x/2)^2)→1
または
（1-cosx）/(x^2/2)
=（1-cosx）（1+cosx）/(x^2/2)（1+cosx）
=((sinx)^2)/(x^2/2)（1+cosx）→1
この変形なら使用可能です。

＞＞1-cosx≒x^8/2などでも
ＥＲＲＯＲです。成立しません。ロピタルを何度か使用すれば判ります。
＞＞すべて極限の問題は解決してしまいますよね。
ＥＲＲＯＲです。
すべて極限の問題は解決しません。

＞＞x→0のとき、1-cosx≒x^2/2
ここまで持ち出されれたら、やむを得ません。本質はテーラーです。
テーラーを理解するためには、道具だてが必要です。
ロルの定理、平均値の定理・・・
平均値の定理ひとつとっても、使い切れる生徒はすくないです。
今の段階では、深入りは避けた方が賢明です。もっと沢山の課題があります。
されど、難関校受験の生徒にとっては、
＜テーラー展開＞は＜常識＞でもあります。
検索すれば幾らでも出ます、ひとつだけ張ります。都合の良い所だけかかれています。
http://mail2.nara-edu.ac.jp/~asait/c_program/sample0/taylor.htm

お礼

皆様本当にありがとうございます。

常識なんですか。知らなくてもいいと思いますが、知っていて損はないというか得だと思うので上のものだけ公式を参照しながら覚えます。

回答No.4

zk43

平均値の定理
「(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)なるaとbの間の数cがある」
というのは習ったと思います。
0<θ<1としてc=a+θ(b-a)とも書ける。
a=0、b=xと書くと、
(f(x)-f(0))/x=f’(θx)
f(x)=f(0)+f’(θx)x
と書ける。
さらに平均値の定理を一般化して、
f(x)=f(0)+f’(0)/1！*x+f’’(0)/2！*x^2+…+f^(n)(0)/n！*x^n
+f^(n+1)(θx)/(n+1)！*x^(n+1)
（0<θ<1）
と書けるという定理があります。（fはn+1回微分可能という条件はあり
ます。）
ここで、f(x)=cosx、n=3とすると、
cosx=1-1/2*x^2+cosθx/24*x^4（0<θ<1)
これから、
1-cosx=1/2*x^2-cosθx/24*x^4
(1-cosx)/x^2=1/2-cosθx/24*x^2
x→0とするとき、右辺の第２項は0に収束するので、
(1-cosx)/x^2→1/2
よって、xが微小な数のときは、
(1-cosx)/x^2≒1/2
1-cosx≒x^2/2
と考えられます。

平均値の定理の一般化は高校ではやりませんけど、
f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n+…
と展開できたとして、両辺をn回微分してx=0とすると、
f^(n)(0)=an*n！からan=f^(n)(0)/n！となるので、厳密な証明はしなく
ても、計算技術として覚えておくと、解の検討をつけるのに役立つでし
ょう。

回答No.3

kabaokaba

これが「関数の展開」です．
ロピタルの質問で
「すっきり見えるようになります．」と
いったのはこういうことですよ．
たぶん，一連の質問で微積系のものは
これでかなり仕組みが見えるようになります．

回答No.2

sanori

cosｘを、ｘ＝０の周りにテイラー展開します。

ｆ（ｘ）＝cosｘとおいて、

ｆ（ｘ）＝Σ［n=0→∞］ｆのｎ回微分（０）÷ｎ！×ｘ^n
　＝　cos０　－　sin０・ｘ　－　cos０・ｘ^2　＋　sin０・ｘ^3　＋　cos０・ｘ^4　－　sin０・ｘ^5　－　・・・・・
（sin０＝０、cos０＝１なので）
　＝　１　－　ｘ^2　＋　ｘ^4　－　ｘ^6　＋　・・・・・

ｘ→０　つまり、ｘ≒０　ですから、ｘ^2　に比べて、ｘ^4 や ｘ^6 は非常に小さくなります。
よって、

ｆ（ｘ）＝　cosｘ　≒　１－ｘ^2

回答No.1

info22

関数のテイラー展開とかマクローリン展開でa=0の場合です。

http://www.geocities.jp/imai927/free/kyusu/no0010.html

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/ThrmTaylorExpansion.htm#ThrmMaclaurinSeriesOfFnctns

無限級数展開でｘが十分小さい（x->0）ということで級数展開のxの次数の多い項は極めて小さく無視できるということです。