極限における三角関数の式変形

質問

x→0のとき、1-cosx≒x^2/2である。こういう奥の手に気がつけば。。。といったことが書いてあります。この式自体は両辺が0になるので理解できます。しかしこれは何か導き方があるのでしょうか。もしそうでないならば、適当な式変形をして（1-cosx≒x^8/2などでも）すべて極限の問題は解決してしまいますよね。

教えてください。

回答No.2

sanori

cosｘを、ｘ＝０の周りにテイラー展開します。

ｆ（ｘ）＝cosｘとおいて、

ｆ（ｘ）＝Σ［n=0→∞］ｆのｎ回微分（０）÷ｎ！×ｘ^n
　＝　cos０　－　sin０・ｘ　－　cos０・ｘ^2　＋　sin０・ｘ^3　＋　cos０・ｘ^4　－　sin０・ｘ^5　－　・・・・・
（sin０＝０、cos０＝１なので）
　＝　１　－　ｘ^2　＋　ｘ^4　－　ｘ^6　＋　・・・・・

ｘ→０　つまり、ｘ≒０　ですから、ｘ^2　に比べて、ｘ^4 や ｘ^6 は非常に小さくなります。
よって、

ｆ（ｘ）＝　cosｘ　≒　１－ｘ^2