数学の問題でわからないのがあります。

質問

数学の問題についての質問です。ランダムウォークの破産の問題についてです。今AとBがいてAがもっているお金をn円としてAとBの二人の総額はN円です。ここでAとBがあるゲームをして勝てば1円もらえるとします。

そのゲームでAが勝つ確率をp、Bが勝つ確率をqとしたときAがいつか破産する確率P(n)の一般式の答えは分かるのですが途中式が文献を探してもなかなか見つかりません。途中式を教えてくださるかたもしくわ載っているWEBを知っている人はいませんか？

回答No.2

incd

多分色々な手はあるのだと思いますが、このシンプルな問題については漸化式で解くことが出来ます。

f(n) を当初Aがn円持つときの先に破産する確率とします。ただし、fの形はパラメータN,pに依存します。

今、n円でスタートしたとして、１回目の勝負の後を考えます。確率pでAが勝って所持金は n+1 円に, 確率q(≡1-p)でAは負けて所持金は n-1 円になります。この点に着目すると、以下の漸化式が得られます。

f(n) = p f(n+1) + q f(n-1)
n = 1,2,...,N-1

解釈すると「n で始めて破産する確率」を、「１回目に勝ってから破産する」と「１回目に負けてから破産する確率」に分解しているわけです。勝った場合には、 n+1 でゲームを始めることになるのがポイントです。

また、上の式では f(0)とf(N)が定義されていませんが、0は負けを、Nは勝ちを意味するので、
f(0) = 1
f(N) = 0
と定めれば良いことになります。

上のような漸化式は２階の漸化式ですので、解を出すには初期条件が２つ必要になります。このf(0)、f(N)がその役割を果たします。

さて解き方は色々ありそうですが、高校でやる感じの方法しかすぐには分からないのでそちらを紹介します。
f(n) = p f(n+1) + q f(n-1)　を変形して、
p[f(n+1) - f(n)] = q[f(n) - f(n-1)]　とします。
すると階差数列が表れます。これを
g(n) ≡　f(n+1) - f(n) (n =0,1,2...,N-1)
と定義します。すると上の式は
p g(n) = q g(n-1) となります。これは初期条件g(0)を定めると
g(n) = g(0) (q/p)^n
と解けます。

これからfの形を求めます。g の定義より、
f(N) - f(0) = g(0) + g(1) + … + g(N-1)
が得られます。右辺に先ほどの解を代入すると
(1) p = q の時
f(N) - f(0) = N g(0) になり、さらに初期条件を代入すると
g(0) = -(1/N).
最後に
f(n) - f(0) = g(0) + … + g(n-1) を用いて
f(n) = 1 - (n/N).

(2) p ≠ q の時
f(N) - f(0) = g(0) [1 - (q/p)^N]/[1 - (q/p)] （等比数列の和）
したがって
g(0) = - [1 - (q/p)]/[1 - (q/p)^N].
f(n) - f(0) = g(0) + … + g(n-1)
= - [1 - (q/p)]/[1 - (q/p)^N]×[1 - (q/p)^n]/[1 - (q/p)]
f(n) = 1 - [1 - (q/p)^n]/[1 - (q/p)^N].

回答No.1

cabinessence

金融工学の教科書を見れば載っているのではないでしょうか。