確率の問題でつぼから玉を取り出す
つぼUには白球1個と黒球1個の計2個、つぼVには白球2個と黒球1個の計3個が入っている。
各つぼから1球ずつとって、Uのつぼから取った球はVのつぼへ、Vのつぼから取った球はUのつぼへ入れる手続きをn回行うとき、Uに白球が2個ある確率をpn、白球、黒球が1個ずつある確率をqn,黒球が2個ある確率をrnとする。
(1) p1,q1,r1,を求めよ
(2) pn,qn,rnをpn-1,qn-1,rn-1を用いて表せ
(3) この手続きを無限回行うと確率pn,qn,rnがそれぞれ一定値p,q,rになることが分かっているとする。このときp,q,rの値を求めよ
という問題なんですが、
(1)は単純に何通りあるかをしらべて
p1 = 1/3
q1 = 1/2
r1 = 1/6
と分かって
(2)も普通に考えて
pn = 1/3*pn-1 + 1/3*qn-1
qn = 2/3*pn-1 + 1/2*qn-1
rn = 1/6*qn-1
となることも分かったんですが
(3)をどうすればいいかがわかりません。
pn,qn,rnをnを使って表すようにして極限をとればいいということは分かるのですがどうやればnだけで表せるのかが分かりませんでした。
pn-1などをうまく変形してp1などを使えばいいとは思うのですが・・・
どなたか教えてください。
