数学の問題

質問

数学の問題
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただし、n≧2とする。
各車両を赤色、青色、黄色のいずれかの1色で塗る時、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。

という問題です。
説明では
「確率と漸化式の融合問題」で
隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方 ： a(n)
とする。
車両全体をn+2両と考え
一両目が何色かで場合分け

一両目が赤の時、残りのn+1両の塗り方はa(n+1)
一両目が青の時、二両目は絶対赤だから、残りのn両の塗り方はa(n)
一両目が黄の時、二両目は絶対赤だから、残りのn両の塗り方はa(n)

よって、a(n+2)=a(n+1)+a(n)+a(n)
=a(n+1)+2a(n)
後はこの漸化式を解いて、a(n)=｛2^n+2｝ - ｛(-1)^n-2 ｝/ 3
が答えです。

ここでいくつか疑問があります。
まず、全体をn+2両として考えていますが、問題文にはn両編成と書いてあります。
なぜn+2両目が存在するのですか?

次に、一両目の色によって場合分けをしていますが、問題文に「隣り合った車両の一方が赤」なんですから
一両目が赤だろうが、二両目は絶対に赤じゃないといけないんじゃないですか？
自分が赤かどうかは関係なく、「隣」が赤じゃないといけないという意味ではないんでしょうか?

最後に、この問題は「確率と漸化式の融合問題」として説明されましたが
この問題を見たとき、「確率と漸化式の融合問題だ」と気付くポイントはあるんですか？
青チャートなどを見ていると、確率と漸化式の融合問題の場合、「～の確率とP(n)とする。P(n)を求めよ。」みたいな感じで
書いてありますが、この問題だと分かりません。
どのような問題の時に「確率と漸化式の融合問題」なんでしょうか?

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1) n+2 両目は存在するのか？
車両の全数を表す n と同じ文字を使うと、
確かにややこしいですね。
これは、書き方が悪い。
解説の n は何か別の文字(例えば k)で書き換えて、
a(k+2)=a(k+1)+2a(k) を導いてください。
この式が、1≦k≦n-2 の範囲のどの k でも成り立つ
ということです。

(2) 二両目は絶対に赤ではないのか？
違います。「隣り合った車両の一方が赤」
という日本語を、よく考えてみてください。
一両目が赤ならば、二両目が何色であっても、
隣り合う一両目と二両目の「一方が赤」ですね？
一両目は赤なんですから。
日本語力の問題かな。

(3) どうやったら、確率の融合問題と判るのか？この問題に、確率は関係ないと思います。
数列の普通の問題ですよ。
その解説者は、何か勘違いをしているのでは？

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
質問を一つずつみていきましょうか。

【Q1】まず、全体をn+2両として考えていますが、問題文にはn両編成と書いてあります。
なぜn+2両目が存在するのですか？

a(n+2)は n+2両編成を塗る塗り方、a(n+1)は n+1両編成を塗る塗り方を表しています。

n+2両編成を塗る塗り方を数えるとき、
(1a) 先頭が「赤」だとすると、残り n+1両は「隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となる」
ように塗られていればいいことになります。
このような塗り方は、数列の定義より a(n+1)とおりとなります。

(1b) 先頭が「青」や「黄」のとき、2両目は必ず「赤」でなければなりません。
（この点については、下の【Q2】で説明したいと思います。）
2両目が「赤」であれば、残り n両は上の (1a)のように塗られていればよく a(n)とおりとなります。

【Q2】自分が赤かどうかは関係なく、「隣」が赤じゃないといけないという意味ではないんでしょうか？

そうではありません。
少し言葉を補ってみると、次のように言うことができます。
「編成のどこ隣り合う 2両を選んでも、少なくとも一方は赤である」

つまり、どこの 2両を選んでも「○赤」「赤○」「赤赤」のどれかになっているということです。
逆に、「青青」や「黄青」といった並びは出てきてはいけないということになります。

【Q3】どのような問題の時に「確率と漸化式の融合問題」なんでしょうか？

問題のパターンというのは決めつけられませんが、
「n個のものを並び変える」といった問題のときに、漸化式になってくることが多いと思います。
代表的な問題として、過去の質問にもあったものを参考としておきます。
http://okwave.jp/qa/q6359276.html

参考になれば幸いです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6359276.html