虚数の面積とはどういったものなのでしょうか

質問

たとえば、日常生活で山の頂点の高さを考えたときに、正の実数で表せますが、谷の深さも同様に扱うことで、負の実数が考えられます。

そして、高さの他に、山の頂上の水平の位置を考えたいときには、虚数が考えられます。

ちょっとあいまいな表現ですが、
長さという量を考えるときには正数だけなのに、反対の概念により負数を、別次元の概念により虚数を扱うことが出来ます。

量という概念に、反対の量、別次元の量を考えることができるということです。

次に、面積という量があったとします。
その反対の量、つまり、マイナスの面積が考えられることは分かります。

では、虚数の面積とはどういったものなのでしょうか？

面積が虚数の場合の幾何学的イメージはどんなものなのでしょうか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

＞＞＞
たとえば、日常生活で山の頂点の高さを考えたときに、正の実数で表せますが、谷の深さも同様に扱うことで、負の実数が考えられます。

はい。

＞＞＞
そして、高さの他に、山の頂上の水平の位置を考えたいときには、虚数が考えられます。

いえ。水平方向には、東西と南北がありますから、２つの軸が必要です。
純虚数の軸を２つ使いたいですか？
また、東がプラスであれば西はマイナスであり、北がプラスであれば南はマイナスです。

＞＞＞
次に、面積という量があったとします。
その反対の量、つまり、マイナスの面積が考えられることは分かります。

はい。
たとえば、積分で面積を求める、すなわち、グラフの曲線とＸ軸の間の面積を求めるとき、曲線がＸ軸よりも下に来ると、負の面積になります。

＞＞＞
では、虚数の面積とはどういったものなのでしょうか？
面積が虚数の場合の幾何学的イメージはどんなものなのでしょうか？

１辺の長さが√ｉ（面積がｉ）の正方形を考えるとき、
√ｉ　＝　√［ｅ^(i・９０度)］
　＝　［ｅ^(i・９０度)］^(1/2)
　＝　ｅ^(i・４５度)
　＝　（１＋ｉ）／√２

１辺の長さが（１＋ｉ）／√２　の正方形の面積がｉ

なお、上記と関連ありませんが、
半径が虚数の円を考えたひとはいるようです。
http://www1.kcn.ne.jp/~iittoo/jp24c_rie.htm

あと、こういうのはあります。
http://homepage2.nifty.com/tangoh/sankakumen2a.html

回答No.3

noname#194289

全くの素人ですから会とではなりませんが、面積というものをどのように考えるかの方が先のように思います。

回答No.1

Denkigishi

あなたは虚数を幾何学的イメージで捉える努力をされているようですが、それは結局虚数の世界を実数の世界観でシミュレーションするだけです。例にあげている「山の頂上の水平の位置」も実数の世界です。そこには空気もあるし鳥も飛べますから地上と何ら変わらぬ実在の世界です。
虚数を人の頭脳ではイメージ出来ません。（特別な脳を持った人がいるかもしれませんが）　実数世界の何かの次元を虚数とみなして説明することは出来ます。一番シンプルなのは、横軸を実数、縦軸を虚数と看做すことです。
でもこういうことをある時期真剣に考えるというのは無駄では有りません。こういう解は人に尋ねるものではなく、自分で創造してゆくものだと思います。