空間の曲率が負とは？

質問

高校の数学程度しか理解できないのですが、空間の曲率というものに興味をもっていまいました。

空間の曲率というものを難しい微分方程式などを使わずに概念的に理解するためにご教示ください。

まず一次元（線）の時は、曲率は0か正しかありません。（正・誤）

つぎに二次元（面）のときは、曲率が0以外に、正と負の値をとることがあります。
面と直交するｚ軸をとり、面に属するｘ軸上の曲率と、ｘ軸とも直行しながら面に属するｙ軸上の曲率が（ｚ軸を基準に）反対方向である場合、この平面の曲率は負である言います。いわゆる「馬の背」の面。（正・誤）

さて、本題ですが、三次元（立体空間）の場合、ｘ軸、ｙ軸、z軸のいずれとも直交するｔ軸をとり、ｔ軸に対するｘ軸、ｙ軸、z軸の曲率がが全て同方向であれば、正の曲率ですかね。
またｘ、ｙ、ｚのうちの一軸だけが反対方向に曲がってる場合は負の曲率ということでしょうか。
つぎに、ｚ、ｙ、ｚの内の二軸の曲率が他の一軸と異なる方向だった場合、ｚ＝は正、ｙが負、ｚも負であれば、正ｘ（負ｘ負）＝正になるのではないでしょうか。
つまり、「三軸のうちの一軸が反対方向」と「三軸の内の二軸が反対方向」という場合は、結局、最初の一軸の曲率を負とみなせば、立体の曲率が負に成るし、最初の一軸の曲率を正とみなせば立体の曲率が正となるわけです。
これでは、「三軸のうちの一軸の曲率が反対」というのと「三軸の内の二軸の曲率が反対」というのが同じ結果になります。
最終的に三軸ともが負なら、三次元が負になるわけですが、その方向が負か正は誰も決められないのではないでしょうか。

質問：「三次元空間の曲率が負である」と判定されるためには、ｘ軸、ｙ軸、z軸のそれぞれが、相対的に（何を基準に）どちら方向に曲がってる場合なのでしょうか。

微分幾何学など難しい数学を習得せずに、「空間の曲率」の正・負に関して概念的に理解する方法があれば、ご教示いただけると有り難いです。

位相幾何学などの教育を受けたことが無い素人の質問ですが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

雪中庵（@psytex） · ベストアンサー

１次元でも、円の曲率は正、双曲線の曲率は負です。

お礼

Psytexさん、
有難うございます。

いつもは私にとって難解な回答が多いのですが、今回ばかりは正鵠をえているというか、図星です。

私の質問自体がピントはずれだったのが良く分かりました。
感謝！

回答No.3

178-tall

>まず一次元（線）の時は、曲率は0か正しかありません。
　↑
（誤）

数学的にいうと「平面上の曲線」のハナシでしょうか？

もしそうなら、一例だけでも。

参考 URL 「曲率と曲率半径」
　　　↓
　/ 例　y=(1/2)ax^2 の曲率 κ = a/(1+a^2x-2)^(3/2)
… の正負は a の正負しだいですネ。

「そんなハナシじゃないよ」という気配も濃厚。
これにとどめ、模様見。

参考URL：

http://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/3.html

お礼

一次元から勘違いをしておりました。
目から鱗です。

大変為に成りました。
どうもありがとうございます。

回答No.1

angel2015

>その方向が負か正は誰も決められないのではないでしょうか。

二次元でも決められないですよ
二次元でも三次元でも、ある一点を基準にした前提で、計算しているだけです

現実的な問題で言うなら
あなたの今いる位置が中心点ですから、あなたの正面と右と上方向を正に仮定して計算することに
誰も反対しないでしょう

計算した後で、あなたが動けば正と負がずれますよね

お礼

質問自体が勘違いをベースにしておりました。
目から鱗です。
どうもありがとうございました。