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虚数の虚数乗は実数??
あるサイトを見たら (i)^(-i)=e^πという式が出ていました.もしこれが私の写し間違いでないとすれば、この公式を理解する人はどんなことを想像してこの公式の意味を理解するのでしょうか。何かうまい秘訣のようなものはあるのでしょうか?なるべくわかりやすく教えてください.
- kaitaradou
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No2 の ency です。 誤りがありましたので訂正します。 [誤] e^(iπ) = 1 ⇒ e^π = 1^(-i) [正] e^(iπ) = -1 ⇒ e^π = (-1)^(-i) ですね。 # そもそも、1 は何乗しても 1 ですよね。。。 でも、ここまでくると、直感的な説明は難しいと思います。 -------------------------------------------------------- (参考) Google に電卓機能があるようです。 Web 上でこんな難しい計算ができるとは、ちょっと驚きでした。 なお、参考URL は Google 電卓機能の解説ページです。 e^(π/2) = 4.81047738 http://www.google.com/search?q=e%5E%28pi%2F2%29 i^(-i) = 4.81047738 http://www.google.com/search?q=i%5E%28-i%29 e^(π) = 23.1406926 http://www.google.com/search?q=e%5E%28pi%29 (-1)^(-i) = 23.1406926 http://www.google.com/search?q=%28-1%29%5E%28-i%29
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- ryou0607
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複素数平面というものをご存知ですか? 見たことがなければ、一度見てみると良いと思います。 4番さんの説明がわかりやすくなります。 東西南北の方位に向かって、 東へ1キロ進んだ点が1 北へ1キロ進んだ点がi 西へ1キロ進んだ点が-1 南へ1キロ進んだ点が-i と考えるようなものです。 1の点に居るときに、-1をかけたら(方向を持つ距離"1"に-1をかけたら)180°回転して-1の点のところへ行きます。 1にいるときにiをかけたときは、90°回転してiの点に動きますね。 そういうことです。 数字につく符号"+","-","i","-i"は、それぞれ二次元的な角度を表しているのです。
お礼
ありがとうございます。右辺の意味もわからないのですが、左辺の虚数単位の虚数べきの意味もわからないので困っているわけです.
- keiryu
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直接的な解答ではないのですが・・・・。 iを虚数というへんてこりんな名前-虚というのは嘘っぱちということですから-で理解すると、虚数の虚数乗が実数になることに、違和感が出てきちゃう。 虚数のiってのは、90°回転するって言う意味がある。 だって、-1をかけるって事は、180°回転させてるでしょ。数直線で考えてごらん。1に-1をかけたら180°回転して負のほうに行っちゃうでしょ。-1というのは、i×iだよね。かけることは回転と考えれば、90°まわし、さらに90°まわせば180°まわしたことになる。てなわけで、iというのは、虚ろな数ではなく、回転を表すもの。 この延長で行くと、60°って数は、1/2+√3/2iてな数で表せるよね。 こんなこんな考えていくと、虚数ってのは、cos+isinθとかいうあやしげな数の形式で表せんのよ。こんなもんをオイラーの公式は使うの。 そんでもって、えんやらやーと計算すると、以下の人が書いてるようなものなる。 結論。iなる数を虚ろでうそ臭い数と思わぬこと。 270度回転などといわず、-iをかけちゃうほうが合理的でしょ。だって、-iは、i×i×iのことで、これは、90×90×90で、270°と一緒のことを言ってるのよ。虚数の掛け算は、回転の別表現のこと。これらを使って、電気回路は計算されます。そう、iの計算は、電気をはじめとして、物理には欠かせない道具。決してね、虚ろな数、虚数ではなく、現実性のある数なんです。 駄文になりました。
お礼
どうもご丁寧にありがとうございます.回転という幾何学的なものと数という代数的(?)なものとを結びつけることが出来ないのでもう少し勉強してみたいと思います。
- ency
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No1 hitomura さんに補足します。 e^(iπ/2) = i ⇒ e^(π/2) = i^(-i) で良いと思うのですが。。。 e^(iπ) = 1 ⇒ e^π = 1^(-i) だと思いますし。。。 # いずれも、オイラーの公式から出てきた式ですけど。 って、こんなに自信なさげじゃ、補足にもなっていないか(?)
- hitomura
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数学にはオイラーの公式というものがあります。 これは、 e^(iθ)=cosθ+i×sinθ という内容です。 この式にθ=π/2を代入すると、 e^(i×π/2)=i となります。さらに、両辺を(-i)乗すると、 右辺=i^(-i) 左辺=(e^(i×π/2))^(-i) =e^((i×π/2)×(-i)) =e^(-1×(i)^2×(π/2)) =e^(π/2) となり、i^(-i)=e^(π/2)に… …あれ? すみません、計算が合わないので「自信なし」にします(^^;
お礼
オイラーの公式がわからないとこちらもわからないのかということでしょうか。どうもありがとうございました。
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