実数と虚数は同等なものですか

質問

発見の順序からいえば実数のほうが先なのでしょうが、何となく虚数のほうが先にあったような気がします。何の根拠もありませんが複素数の体系ではどうなっているのでしょうか。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

複素数が 実数を含んでいるという話なら Yes です。

ものを数えるために自然数がうまれ、
ものを量るために小数(正の実数)がうまれ、
損得を把握するのに正と負の数がうまれました。

複素数は最初は方程式の解として持ち込まれた
ありえない数という認識でしたが、
正と負の「方向」という概念を、さらに２次元の
幾何学的な「方向]に拡張すると
複素数になることに数学者が気づき始め、やがて
数として認知されました。

つまり、虚数部を持たない、回転角が 0度方向、あるいは
180度方向の複素数が実数です。

多くの場合、古い数の概念は新しい数の概念を含んでいる
ようですね。

お礼

虚数部を持たない複素数が実数というのは改めて納得できました。ご教示ありがとうございます。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>多くの場合、古い数の概念は新しい数の概念を含んでいる
>ようですね。

ああ、また惚けてしまった。

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多くの場合、新しい数の概念は古い数の概念を含んでいる
ようですね。
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が正しいです。

お礼

ご訂正ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

歴史的には実数の概念は紀元前からありますが、複素数は16世紀あたりからなので
圧倒的に実数が先。

で、kaitara1 さんの「先」とはどういう意味なんでしょう？

質問からは全く想像がつきません。

お礼

どうもすみません。私の考え不足のようでした。ご指摘ありがとうございます。

補足

no1さんへの補足と同じですが、虚数をかけあわせると実数が出てくるが実数をかけあわせても実数しか出てこないことからそのように想像しました。

回答No.2

stomachman

ANo.1の補足について

＞　虚数を掛け合わせると実数が生じますが、実数では実数しか出てこないことは、虚数のほうが先にあったということにはならないのでしょうか。

　ならば、「実数の平方根を取ると虚数が出てきますが、虚数の平方根を取っても虚数しか出てこないということは、実数の方が先にあったということにならないでしょうか」という論法も成り立つのでは？
　あるいは「『虚数を掛け合わせると実数が生じる』と言えるのは、実数の概念が既にあるからそう分かるんでしょう。だから虚数と実数のどちらが先にあったということの根拠にはならないのではないでしょうか」という論法はどうです？

　既に申し上げたように、どちらが「先にあった」形にでも、数学を構成する（定義を導入していく）ことが可能である。要するに、「先にあった」という概念を厳密な意味を持つように定義しない限り、どうとでも言える訳です。だから、あんまりこだわってもしょうがない部分ですね。

お礼

よくわかったように思います。もう少し勉強します。ご教示に感謝いたします。

回答No.1

stomachman

歴史的前後関係としては、実数と複素数の概念の発見はというと実数が先です。最初は、複素数を何か神秘的なもの、と捉える風潮がありましたけれども、複素数が工学で実地に大活躍するうちにそんな迷信は消し飛んだんですね。
　しかし、実数の数学的定義がキチンと与えられた(by R.デデキント)のは両者の発見よりも後である。そして、その時点では実数の対(つい, pair)を使って構成される概念としての複素数は知られていてた。だから、実数がキチンと定義されると同時に複素数もキチンと定義された、とも言えます。

　数学のごく標準的な構成では実数が先に定義され、そのあとで複素数が定義されて、それが「集合Xの要素を係数とする代数方程式(多項式=0)の解がXの中に必ず存在する（代数学の基本定理）」という性質を持つX（代数的閉体）であることを証明します。しかし、実数と複素数のどっちを先に定義しても何の問題もなく普通の数学を構成できます。つまり「話の順番をどうするか」というだけの違いです。

　ところで宇宙論において、ホーキングの「無からの宇宙生成」の理論は、宇宙の始まりは虚数時間で進行してから実数時間でのインフレーションにつながるという説です（もちろんただの妄言ではなくて、量子力学と一般相対性理論を駆使しまくった難しい理屈ですが）。実数時間を考えないと「先」という前後関係が意味を持たないわけですが、強いて言うならこの説においては「虚数時間が実数時間に因果的に先立っている」ってイメージになりましょうか。

お礼

ご丁寧に説明していただきありがとうございます。ガウス平面を見ているとむしろ虚数のほうが主役かと思ってしまう理由も何となく納得できるように思いました。ご説明を指針にさせていただき勉強したいと思います。

補足

虚数を掛け合わせると実数が生じますが、実数では実数しか出てこないことは、虚数のほうが先にあったということにはならないのでしょうか。