- ベストアンサー
虚数の直観的な理解
- オイラーの公式でΘがπのときには等式としてネイピア数eのiπ乗が-1となる。
- 虚数iは「想像上の数」であり、eやπという現実の数を介して-1となる。
- 虚数の直観的な理解は困難であり、さまざまな解釈が存在する。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
実数xについて定義した指数関数 e^x をテイラー展開して e^x = Σ(x^n)/n! (Σはn=0～∞の総和） と表してみれば、指数関数をxが複素数である場合へ自然に拡張できます。実数tについての三角関数のテイラー展開 sin(t) = Σ((-1)^m)(t^(2m+1))/(2m+1)! (Σはm=0～∞の総和） cos(t) = Σ((-1)^m)(t^(2m))/(2m)! (Σはm=0～∞の総和） と e^(it) = Σ(i^n)(t^n)/n! (Σはn=0～∞の総和） = Σ( ((-1)^m)(t^(2m))/(2m)! + i((-1)^m)(t^(2m+1))/(2m+1)! ) (Σはm=0～∞の総和） を比べれば、実数tについて e^(it) = cos(t) + i sin(t) が【直感的】に分かるでしょ。 蛇足ながら、虚数を「imaginary number」なんて呼ぶのは昔の名残りに過ぎません。今では少なくとも工業数学では不可欠ですし、複素数が嫌なら最初っからベクトルと行列でものを考えれば良い。 行列はつい数十年前までは「高等数学」という扱いだった。ま、負の数ですら「実在しない！」とする主張が強かったのはそれほど古い時代じゃありませんし、実際、クロネッカーのような大数学者でも「自然数以外の数は、人工的に作った架空のもの」というようなことを言って、カントールを虐めまくった。というような混迷の歴史が、今なお語感に残っている訳です。 しかし、数学に於いては、用語に使われる単語は全く意味を持たない。田中さんが「田んぼの中にいる人」という意味ではなくただの固有の名前であるというのと同様、imaginary numberは「想像上の数」という意味ではなく、「imaginary number」という固有の名前を持つひとつの概念である。つまり、どんな名前であろうと他とはっきり区別が付きさえすればいいんで、「宇宙際タイヒミュラー理論」だの「super nova」だの「ファイバーバンドル」だの、ともかく名付けた者勝ち。そして、名称は単なる名称に過ぎず、その名称が指す実体は概念なのですから、名称に使われた言葉の意味を斟酌しようと苦労したって全くの無駄であり、概念の定義そのものを学ばなくちゃ駄目です。
その他の回答 (2)
- Water_5
- ベストアンサー率17% (56/314)
"i"がどうしてe＾(iπ）＝－１になるのかというのは愚問です。 この辺どまりの者が、この辺の初等的な知識に酔いしれている暇があったら、もっと先をどんどん勉強し給え。
お礼
つまらないことにひっかかってしまったようです。
- trytobe
- ベストアンサー率36% (3457/9591)
三角関数 sin や cos を、ｅ の 「虚数乗」 で表せる ここの時点で、実はいくつかの飛躍を持ち込んで、 ・累乗の定義に実数乗だけではなく「虚数乗」という、掛け算だけでは記述できないものを導入して、指数関数を「複素関数」にまで拡張し、 ・sin と cos で描かれる単位円（半径１の円）がｘ軸の正の方向から、半時計回りに１８０度（ラジアン表記でπ）だけ回転するとｘ軸上の－１に到達する という「便利な状態がつくれるような関数の拡張」をした結果が、ｅ＾（iπ）＝－１ でキレイに様々な関数や定数の関係を維持したまま、さらに便利なようにまとめるのに好都合な「定義」につながった、 というだけなのだと思います。もっと別の定義（関数の拡張）もできるでしょうが、現時点の人類には、これが一番活用しやすい定義だから便利に使っているだけ、ということです。
お礼
単なるツールということのようですね。
お礼
負の数さえ最初は否定されていたのですね。現代人は負の数を当たり前のように使っていますが、考え出されたときにはもうそれまでの自然数にくらべてかなり飛躍した概念だったと。 しかし、その概念を受け入れることでいろいろなことが便利に記述できるようになった。 虚数も同じことで、最初は否定されていたのでしょうか。 しかしその概念を飲み込んで使ってみると、いろいろな自然現象などもうまく説明できるようになった。神秘的なことに もつながっているのかと思いましたが、あくまで純粋数学的なことですね。数の概念がどんどん広がっていってその過程で出てきた概念が虚数。便利なツールという解釈で落ち着きました。