三角関数,虚数について

質問

tan(-i)=((e^2 -1)*(-i))/(e^2 + 1) (i:虚数単位,e:自然対数の底)

となるらしいのですが導き方を教えて下さい。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

tanθ=sinθ/cosθ

においてEulerの公式

e^{iθ}=cosθ+isinθ

⇔cosθ=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2,sinθ=(e^{iθ}-e^{-iθ})/(2i)

を使うと、

tanθ=-i(e^{iθ}-e^{-iθ})/(e^{iθ}+e^{-iθ})

θは複素数でも成り立ちます。θ=-iとすれば、

tan(-i)=-i(e^{i(-i)}-e^{(-i)^2})/(e^{i(-i)}+e^{(-i)^2})

=-i(e-e^{-1})/(e+e^{-1})=-i(e^2-1)/(e^2+1)