極限値が存在するように定数を決める

質問

いつも参考にさせてもらっています。

極限値
lim[x->0](e^x - ax -b)/(x^2)

が存在するように定数a,bを求めよ。

解決のアイデアは、ロピタルではない感じがします。
といって、テイラー展開をどうやってやるのかも、見当がつきません。

ご経験のある方がおられたら、助言をお願いします。

（これも正解はついていません）

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

e^xのTaylor展開は簡単です。x=0とおけば定数項が１が分かります。以下e^xは何回微分してもe^xを知って、微分するたびにx=0を入れれば自然に係数は決まります。
分母のx^2がゼロになって行くとき、Taylor展開でx^2以上の項は発散要因になりません。結局e^xの展開のうち初めの二つ1+xが問題になります。よって(1+x-ax-b)/x^2をx→0で収束させればよいことになるはずです。要するにここで分子はゼロになっていればよいのでしょう。

補足

x=0で
e^x のテーラー展開を行うと

=> e^0 + e^0*x/1! + e^0*x^2/2! + e^0*x^3/3! ・・・・・

上記の式のうち、
２番目までに着目すればよい、ということでしょうか？

回答No.5

info22

x->0の時分母がゼロに収束しますので極限値が存在するには
分子もゼロに収束しないといけません。
e^x - ax -b→1-b＝0(x->0)　b＝1
ロピタルの定理を適用して
(e^x - ax -b)/(x^2)→(e^x -a)/(2x) (x->0)
分母がまだゼロに収束しますので分子もゼロに収束しないといけません。
e^x -a→1-a＝0 (x->0)　a＝1
この時ロピタルの定理を適用して
(e^x -a)/(2x)→e^x /2→ 1/2 (x->0)
以上からa＝b＝1となります。

回答No.4

kabaokaba

e^x の展開は・・・暗記できるくらい簡単というか
あまりに自然なので，すぐ出せます．
(e^x)'=e^x だということで

e^x = 1 + 1/1! x + 1/2! x^2 + ・・・+ 1/n! x^n +・・・

だから，a = b = 1 で極限値は 1/2
テイラー展開もしくはマクロリン展開の公式は
しっかり理解しましょう．

ちなみに・・・ロピタルでやるんなら
e^x/2 -> 1/2 (x->0)
が先にでてきて，
(e^x - a)/x (x->0) の極限の存在から分子の極限が0なので a = 1
さらに戻って，
(e^x-x -b)/x^2 (x->0)
の極限の存在から分子の極限が0だからb=1 です．

暗黙のうちにつかってるのは
g(x)->0 (x->0) かつ f(x)/g(x) (x->0)が存在するならば
f(x)->0 (x->0) である
という事実です

お礼

e^x の展開はわかりますが、(e^x - ax -b)のなかの
axもテイラー展開しなければならないと思っていました。

回答No.3

age_momo

ロピタルでも良いと思います。

lim[x->0](e^x - ax -b)/(x^2)

が発散せずに極限値を持つためには

f(x)=(e^x - ax -b)
g(x)=x^2

とすると

g(0)=0,g'(0)=0　ですから
f(0)=0,f'(0)=0　でなければなりません。

よって

f(0)=e^0-0-b=0
f'(0)=e^0-a=0

です。

回答No.2

imopro

ヒントだけ書いておきます。

lim[x→a]f(x)/g(x)=t（つまり極限値が存在する）
　かつ
lim[x→a]g(x)=0
　なら、
lim[x→a]f(x)=0
　が必要条件になります。

今回の場合、f(x)=e^x-ax-b、g(x)=x^2であり、
lim[x→0](e^x-ax-b)/(x^2)の極限値が存在し、lim[x→0]x^2=0というのだから、lim[x→0]e^x-ax-b=0が必要になります。

お礼

解決のための着目点、ありがとうございます。