確率

質問

1～６の目がある１つのさいころをn回投げ、出たn回の目の積をAnとする。
このとき次の各問いに答える
ただし、1から6の目が出ることは同様に確からしいとし、nは2以上の整数とする

(1)Ａn＝１２になる確率をnを用いて表す問題で

答え{n*(n-1)*(n＋2)}/{2*(6＾n)}

考え方が分からないので教えてください

12=2*2*3で
組み合わせは
(4,3),(6,2),(3,2,2)
の3通りができますが、これはどのように考えるのですか？
おねがいします

回答No.3

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

(1)(2,6)の組み合わせ
2が出る確率は・・・1/6
6が出る確率は・・・1/6
残りの(n-2)個のサイコロは1でないといけないので
1が出る確率は・・・(1/6)^(n-2)
↑(分けずにまとめて)6個の中から1つを選ぶのをn回繰り返すから (1/6)^n と考えても良い↑

(2,6)はn個のなかから2つ選ぶので・・・nC2
(2,6)の並びの組み合わせは・・・2！

したがって　(2,6)の組み合わせの確率は・・・
(1/6)^n * nC2 * 2！ = (1/6)^n * { nP2 / 2！} * 2！
= n(n-1)/6^n

(2)(3,4)の組み合わせ
(1)と考えは同じなので中身は省略
(3,4)の組み合わせの確率は・・・
n(n-1)/6^n

(3)(2,2,3)の組み合わせ
(1,2,3)の出る確率は・・・(1/6)^n　(←(1)の考え方参照）

n個の中から3つ選ぶので・・・nC3
(2,2,3)の並びの組み合わせは2が2個あるので重複組み合わせの考えで・・・3！/(2！1！)

したがって(2,2,3)の組み合わせの確率は・・・
(1/6)^n * nC3 * 3！/(2！1！) = (1/6)^n * { nP3) / 3！} * { 3！/2！}
= n(n-1)(n-2)/(2*6^n)

この(1)(2)(3)の事象は別々のものなので足してやって
n(n-1)/6^n + n(n-1)/6^n + n(n-1)(n-2)/2*6^n

{ } ( )が多くなるので分母と分子で分けてやります

分母＝2*6^n
分子＝2*n(n-1) + 2*n(n-1) + n(n-1)(n-2)
= 2n^2 - 2n + 2n^2 - 2n + n^3 - 3n^2 + 2n
= n^3 + n^2 - 2n
= n(n^2 + n - 2)
= n(n-1)(n+2)

となり答えとなります

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
理解することができました

回答No.4

k_maisan

No.2です
質問の部分だけです。

>全組み合わせが6＾nが分かりません。
　６種類の目がでるさいころをn回振ったので、目のでかたは6^nです。
　n=1なら、6通り。
　n=5なら、6x6x6x6x6=6^5通りです。

　さいころでよく判らなければ、10進数とかではどうでしょう。
(例)5桁以下の0以上の整数はいくつかあるか。
(解)0を00000、1を00001のように考えると、00000～99999の組み合わせが考えられる。
　各桁の取れる値は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類なので、10^5=100000(通り)

>あの組み合わせの数は n(n-1)のn(n-1)はどうやって現われたのですか？
　n回振るうち、４が１回だけ出ます。a回目に出たとします。
　同じく３も１回だけ出ますが、b回目に出たとします。
　その他は１しか出ていません。

　aの取り方ですが、１回目、２回目、…、n回目のいずれでも取れますので取り方はn通り。
　bの取り方ですが、a回目は既に「４」と決まってしまっているのでそれ以外のいずれかが取れますので(n-1)通り。
　よって、取りえる組み合わせは n(n-1)となります。

　たとえば、n=4であれば、n(n-1)=4x3=12です。全組み合わせを書きますと、
(4,3,1,1),(4,1,3,1),(4,1,1,3)
(3,4,1,1),(1,4,3,1),(1,4,1,3)
(3,1,4,1),(1,3,4,1),(1,1,4,3)
(3,1,1,4),(1,3,1,4),(1,1,3,4)　の12通りです。

>確立は(n-1)/6^nはどのように出たのですか？
　そこはミスでして、正しくは n(n-1)/6^n です。
　すいませんでした。

　n回さいころを振ったときの目のでかたの全組み合わせが 6^n
　n回振って３と４が１回づつでてあとは１の組み合わせ数が n(n-1)
　よって、確率の定義から n(n-1)/6^n となります。
　確率の定義については教科書やWebの解説を詳しく見ていただければわかると思います。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
また、質問にも答えていただいてとても感謝しています
どうもありがとうございました

回答No.2

k_maisan

n回振って積が12になる場合を考えます。

(1)４と３が１回づつ、あとは全て１
(2)６と２が１回づつ、あとは全て１
(3)３が１回、２が２回、あとは全て１
のケースに分類し、それぞれの組み合わせ数と確率を計算します。

(1)はn回のうち４と３が出る組み合わせの数は n(n-1)ですので、全組み合わせの6^nで割り、確立は(n-1)/6^nとなります。
(2)も４と３が６と２に代わるだけで計算式は全く同様です。
(3)は、組み合わせ数がn(n-1)(n-2)/2 となります。2で割っているのは、2の目が2箇所ありますので、組み合わせの重複分を割っているためです。確率はこれを6^nで割ればでます。

(1)+(2)+(3)= (n(n-1)+n(n-1)+n(n-1)(n-2)/2)/6^n

　これを計算すると、示された答えになります。
　考え方としてはn>2の場合での考え方でしたが、n=1や2の場合は明らかに(1),(2)または(3)が０ですので、式に影響はありません。

補足

質問してすいません。
初めに（１）について教えてください。
あの組み合わせの数は n(n-1)のn(n-1)はどうやって現われたのですか？
全組み合わせが6＾nが分かりません。
確立は(n-1)/6^nはどのように出たのですか？

こんな質問してすいません。

回答No.1

noname#60992

A0 = A1 = 0
A2 = 12 となるのは
(4,3),(6,2)
Ａ3=12 となるのは
(4,3,1),(6,2,1),(3,2,2)
Ａ4=12となるのは
(4,3,1,1),(6,2,1,1)(3,2,2,1)
An = 12となるのは
(4,3,1,1,.....)(6,2,1,1,.....)(3,2,2,1,.....)
とかんがえれば、
P(An=12)
=(nC1)*(1/6)*(nC1)*(1/6)*nC(n-2)*(1/6)
+(nC1)*(1/6)*(nC1)*(1/6)*nC(n-2)*(1/6)
+(nC1)*(1/6)*(nC1)*(1/6)*)*(nC1)*(1/6)*nC(n-2)*(1/6)
これをといていけばいいのかな？
もっと簡単な考え方がありそうですけど、